No Image

Чему равна площадь пятиугольника

СОДЕРЖАНИЕ
2 просмотров
11 марта 2020

Нарисуем правильный пятиугольник.

Как мы видим он состоит из пяти равных равнобедренных треугольников с основанием a и бедрами b . Если мы знаем только размер стороны a правильного пятиугольника, то размер b легко находится по формуле радиуса описанной окружности правильного пятиугольника.

Таким образом получаем следующий вывод формулы:

Программа предназначена для расчета площади правильного пятиугольника.

Правильный пятиугольник изображен на нижеследующем рисунке.

Формула для вычисления площади правильного пятиугольника имеет следующий вид:

где a – сторона правильного пятиугольника.а.

Чтобы найти площадь правильного пятиугольника, введите значение стороны правильного пятиугольника и нажмите кнопку "ВЫЧИСЛИТЬ".

Программа вычислит площадь правильного пятиугольника.

Исходные данные и результат вычисления площади правильного пятиугольника могут быть скопированы в буфер обмена.

Пятиугольник

Правильный пятиугольник
Тип Правильный многоугольник
Рёбра 5
Символ Шлефли
Диаграмма Коксетера — Дынкина
Вид симметрии Диэдрическая группа (D5)
Площадь t 2 25 + 10 5 4 = <displaystyle <frac <2><sqrt <25+10<sqrt <5>>>>><4>>=>
5 R 2 4 5 + 5 2 ; <displaystyle <frac <5R^<2>><4>><sqrt <frac <5+<sqrt <5>>><2>>>;>
Внутренний угол 108°
Свойства
выпуклый, вписанный, Равносторонний, равноугольный [en] , изотоксальный
Медиафайлы на Викискладе

Правильный пятиугольник (или пентагон от греч. πενταγωνον ) — геометрическая фигура, правильный многоугольник с пятью сторонами.

Содержание

Свойства [ править | править код ]

  • У правильного пятиугольника угол равен

α = ( n − 2 ) n ⋅ 180 ∘ = 3 5 ⋅ 180 ∘ = 108 ∘ <displaystyle alpha =<frac <(n-2)>>cdot 180^<circ >=<frac <3><5>>cdot 180^<circ >=108^<circ >>

  • Площадь правильного пятиугольника рассчитывается по любой из формул:

S = 5 4 t 2 c t g π 5 = 5 5 + 2 5 4 t 2 = 5 12 R d = 5 2 R 2 sin ⁡ 2 π 5 = 5 r 2 t g π 5 <displaystyle S=<frac <5><4>>t^<2>mathop <mathrm > ,<frac <pi ><5>>=<frac <<sqrt <5>><sqrt <5+2<sqrt <5>>>>><4>>t^<2>=<frac <5><12>>Rd=<frac <5><2>>R^<2>sin <frac <2pi ><5>>=5r^<2>mathop <mathrm > ,<frac <pi ><5>>>, где R <displaystyle R>— радиус описанной окружности, r <displaystyle r>— радиус вписанной окружности, d <displaystyle d>— диагональ, t <displaystyle t>— сторона.

  • Высота правильного пятиугольника:
Читайте также:  Mikrotik туннель между офисами

h = tg 72 ∘ 2 t = 5 + 2 5 2 t ≈ 1,539 t <displaystyle h=<frac <operatorname ,72^<circ >><2>>t=<frac <sqrt <5+2<sqrt <5>>>><2>>tapprox 1<,>539t>

  • Диагонали правильного пятиугольника являются трисектрисами его внутренних углов.
  • Отношение диагонали правильного пятиугольника к стороне равно золотому сечению, то есть числу 1 + 5 2 <displaystyle <frac <1+<sqrt <5>>><2>>>.

Поэтому радиус вписанной окружности, радиус описанной окружности, высоту и площадь правильного пятиугольника можно вычислить и без использования тригонометрических функций:

R>

  • Радиус вписанной окружности:

r = 5 5 + 2 5 10 t ≈ 0,688 191 t <displaystyle r=<frac <<sqrt <5>><sqrt <5+2<sqrt <5>>>>><10>>tapprox 0<,>688191

t>

  • Радиус описанной окружности:

R = 1 0 5 + 5 10 t = ( 5 − 1 ) r ≈ 0,850 651 t ≈ 1,236 07 r <displaystyle R=<frac <<sqrt <1>>0<sqrt <5+<sqrt <5>>>>><10>>t=(<sqrt <5>>-1)

r>

  • Диагональ:

d = Φ 5 R = 5 + 1 2 t ≈ 1,902 R ≈ 1,618 t <displaystyle d=<sqrt <Phi <sqrt <5>>>>R=<frac <<sqrt <5>>+1><2>>tapprox 1<,>902

t>

  • Площадь:

S = 5 5 + 2 5 4 t 2 ≈ 1,720 48 t 2 <displaystyle S=<frac <<sqrt <5>><sqrt <5+2<sqrt <5>>>>><4>>t^<2>approx 1<,>72048

t^<2>>

  • Правильным пятиугольником невозможно заполнить плоскость без промежутков (см. также Паркет)
  • Отношение площадей правильного пятиугольника и другого правильного пятиугольника, образованного пересечением диагоналей исходного (середина пятиугольной звезды)

S s = Φ 4 = 3 Φ + 2 = 3 5 + 7 2 ≈ 6,854 1 <displaystyle <frac >=Phi ^<4>=3Phi +2=<frac <3<sqrt <5>>+7><2>>approx 6<,>8541>где Φ <displaystyle Phi >— отношение золотого сечения.

Построение [ править | править код ]

Правильный пятиугольник может быть построен с помощью циркуля и линейки или вписыванием его в заданную окружность, или построением на основе заданной стороны. Этот процесс описан Евклидом в его «Началах» около 300 года до н. э.

Вот один из методов построения правильного пятиугольника в заданной окружности:

  1. Постройте окружность, в которую будет вписан пятиугольник, и обозначьте её центр как O. (Это зелёная окружность на схеме справа).
  2. Выберите на окружности точку A, которая будет одной из вершин пятиугольника. Постройте прямую через O и A.
  3. Постройте прямую перпендикулярно прямой OA, проходящую через точку O. Обозначьте одно её пересечение с окружностью как точку B.
  4. Постройте точку C посередине между O и B.
  5. Проведите окружность с центром в точке C через точку A. Обозначьте её пересечение с прямой OB (внутри первоначальной окружности) как точку D.
  6. Проведите окружность с центром в A через точку D, пересечение данной окружности с оригинальной (зелёной окружностью) обозначьте как точки E и F.
  7. Проведите окружность с центром в E через точку A. Обозначьте её другое пересечение с первоначальной окружностью как точку G.
  8. Проведите окружность с центром в F через точку A. Обозначьте её другое пересечение с первоначальной окружностью как точку H.
  9. Постройте правильный пятиугольник AEGHF.
Читайте также:  Как зайти на сайт вконтакте

Получение с помощью полоски бумаги [ править | править код ]

Правильный пятиугольник можно получить, завязав узлом полоску бумаги.

В природе [ править | править код ]

Исследования формирования водяного льда на ровной поверхности меди при температурах 100—140 K показали, что сначала на поверхности возникают цепочки молекул шириной около 1 нм не гексагональной, а пентагональной структуры. [1] Пентасимметрию можно увидеть во многих цветах и некоторых фруктах, например в таких как эта мушмула германская.

Иглокожие, например морские звёзды, обладают пентасимметрией.

Пентасимметрию можно увидеть во многих цветах и некоторых фруктах, например в таких как мушмула германская.

Комментировать
2 просмотров
Комментариев нет, будьте первым кто его оставит

Это интересно
No Image Компьютеры
0 комментариев
No Image Компьютеры
0 комментариев
No Image Компьютеры
0 комментариев
No Image Компьютеры
0 комментариев
Adblock detector