Чему равна производная котангенса

Производная по переменной x от котангенса x равна минус единице, деленной на синус в квадрате от x:
( ctg x )′ = .

Вывод формулы производной котангенса

Применяем эти формулы и правила к производной котангенса.

.

Тем самым мы получили формулу производной котангенса.

Формула производной дроби (4) справедлива для тех значений переменной x , для которых существуют производные функций и и для которых знаменатель дроби не обращается в нуль:
.
В нашем случае
, . Поскольку производные косинуса и синуса определены для всех значений переменной x , то формула производной котангенса справедлива для всех x , кроме точек, в которых синус равен нулю. То есть кроме точек
,
где – целое число.
Сама функция y = ctg x определена для всех x , кроме точек
.
Поэтому производная котангенса определена на всей области определения функции котангенс.

Производные высших порядков

Простой формулы, для производной n-го порядка от котангенса y = ctg x , нет. Но вычисление производных высших порядков можно упростить. Можно свести сам процесс к дифференцированию многочлена.

Для этого выразим производную от котангенса через сам котангенс:
.
Итак, мы нашли:
(6) .

Найдем производные левой и правой части уравнения (6) и применим правило дифференцирования сложной функции. Получаем производную второго порядка:
.
Подставим (6):
(7) .

Найдем производную третьего порядка. Для этого дифференцируем уравнение (7), применяем правило дифференцирования сложной функции и используем выражение (6) для первой производной:
.

Подобным способом находим производные четвертого и пятого порядков:

;

.

В общем виде, производную n-го порядка, по переменной x от функции котангенс, , можно представить в виде многочлена по степеням котангенса:
.
Коэффициенты этого многочлена связаны рекуррентным соотношением:
,
где
; ;
.

Общая формула

Представим процесс дифференцирования одной формулой. Для этого заметим, что
.
Тогда n-я производная котангенса имеет следующий вид:
,
где .

Автор: Олег Одинцов . Опубликовано: 10-03-2017

Производная котангенса равна отрицательной единице деленной на квадрат синуса:

Вывести данную формулу нужно из тригонометрического тождества: $$ ctg x = frac<cos x> <sin x>$$

Так же понадобится знать производные $$ (sin x)’ = cos x $$ $$ (cos x)’ = -sin x $$

По правилу производной дроби имеем:

Подставляем производные синуса и косинуса, а также упрощаем выражение с помощью тождества $ sin^2 x + cos^2 x = 1 $:

Производная котангенса равна отрицательной единице деленной на квадрат косинуса одно и того же аргумента. Но так как аргумент отличен от $ x $, то необходимо еще потом домножить на производную аргумента:

Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Котангенс представляет в данном случае степенную функцию, производная которой находится по правилу $ (x^p)’ = px^ $, а затем домножить на производную самого котангенса:

$$ y’ = (ctg^2 x)’ = 2ctg x cdot (ctg x)’ = $$

Вычисляет производную заданной функции.

Данный калькулятор вычисляет производную функции и затем упрощает ее.
В поле функция введите математическое выражение с переменной x, в выражении используйте стандартные операции + сложение, – вычитание, / деление, * умножение, ^ — возведение в степень, а также математические функции. Полный синтаксис смотрите ниже.
Упрощение полученной производной может занять некоторое время, для сложных функций — весьма продолжительное. Если ждать до конца нет сил — нажмите кнопку остановить. У меня получался достаточно простой вариант уже после 10-15 секунд работы алгоритма упрощения.

Калькулятор производных

Производная функции

Синтаксис описания формул

В описании функции допускается использование одной переменной (обозначается как x), скобок, числа пи (pi), экспоненты (e), математических операций: + — сложение, – — вычитание, * — умножение, / — деление, ^ — возведение в степень.
Допускаются также следующие функции: sqrt — квадратный корень, exp — e в указанной степени, lb — логарифм по основанию 2, lg — логарифм по основанию 10, ln — натуральный логарифм (по основанию e), sin — синус, cos — косинус, tg — тангенс, ctg — котангенс, sec — секанс, cosec — косеканс, arcsin — арксинус, arccos — арккосинус, arctg — арктангенс, arcctg — арккотангенс, arcsec — арксеканс, arccosec — арккосеканс, versin — версинус, vercos — коверсинус, haversin — гаверсинус, exsec— экссеканс, excsc — экскосеканс, sh — гиперболический синус, ch — гиперболический косинус, th — гиперболический тангенс, cth — гиперболический котангенс, sech — гиперболический секанс, csch — гиперболический косеканс, abs — абсолютное значение (модуль), sgn — сигнум (знак), logP — логарифм по основанию P, например log7(x) — логарифм по основанию 7, rootP — корень степени P, например root3(x) — кубический корень.