No Image

Что значит производная не существует

СОДЕРЖАНИЕ
2 просмотров
11 марта 2020

Но сначала посмотрим, что будет для «хороших» функций, для которых все-таки производная в точке x0 существует. Для них возникает такая интересная вещь, что с некоторого расстояния приближение точки x к точке x0 перестает влиять на величину искомого отношения и значит, что данное отношение и определяет производную.

Теперь глядя на нашу формулу можно сразу выявить два типа «плохих» функций, для которых в точке x0 производная будет отсутствовать. Первым типом таких «плохих» функций будут те, которые не определены в окрестности точки x0. Т. е. область определения функции не включает в себя окрестность точки x0. Понятно, что для таких функций мы не сможем приблизиться к точке x0 как угодно близко. Примером такой функции будет ln(|x|-1). Она не определена в области -1 1). Понятно, что в точке x0=1 производная не определена.

Оба этих типа «плохих» функций называются разрывные функции.

Существует и третий тип разрывных функций, у которых производная в некоторой точке не существует. Такие функции похожи на первый тип, но в отличие от них они неопределенны только в одной точке x0, а в ее окрестности будет все в порядке. Тогда говорят, что точка x0 выколота. Примером такой функции будет функция 1/x. Она не имеет производную в окрестности точки x0=0, поскольку и сама функция, и ее производная в этой точке будут равны бесконечности, а значит и не определены в области действительных чисел.

Чтобы рассмотреть четвертый тип «плохих» функций, которые не являются разрывными нужно определить понятие правой и левой производной. Конечно можно и без них, но мне кажется, что так будет нагляднее.

Итак, если для первого и третьего типов мы ничего не можем сделать в точке x0, то для второго типов мы можем определить так называемые правые и левые производные. Для их определения надо чуть-чуть изменить нашу формулу на такую: [f(x2)-f(x1)]/[x2-x1]. Здесь точки x1 и x2 будут приближаться к точке x0 слева (левая производная) или справа (правая производная)

Читайте также:  Apple iwatch яндекс маркет

Так вот четвертым типом будут функции, которые непрерывны, но производная слева и производная справа не будут равны друг другу. В точке x0 такие функции имеют излом (угол) . Примером такой функции будет функция модуля, т. е. y=|x|. Она имеет излом в точке x0=0

Кажется, что это все возможные типы функций, у которых не существует производная, хотя мог что-нибудь и пропустить.

Существует три ситуации, когда производная не существует. Производной функции в данной точке является наклон касательной линии в этой точке. Итак, если вы не можете нарисовать касательную линию, нет никакой производной – это случается в случаях 1 и 2 ниже. В случае 3 есть касательная линия, но ее наклон и производная не определены.

Три ситуации показаны в следующем списке.

Если нет ни одной касательной линии и, следовательно, никакой производной ни на одном из трех типов разрыв :

A сменный разрыв – это причудливый термин для отверстия – как отверстия в функциях r и s на приведенном выше рисунке.

Бесконечный разрыв как при x = 3 на функции p на приведенном выше рисунке.

A скачок разрыва как на x = 3 на функции q на приведенном выше рисунке.

Следовательно, преемственность является обязательным условием для дифференцируемости. Однако это не условие достаточное , как показывают следующие два случая. Копай, что логик-говорить. Если нет никакой касательной линии и, следовательно, нет никакой производной в остром

углу для функции. См. Функцию f на приведенном выше рисунке.

Если функция имеет

вертикальную точку перегиба . В этом случае наклон не определен и, следовательно, производная не существует. См. Функцию g на приведенном выше рисунке.

Данная статья рассматривает основные понятия, для решения задач с производными с одной переменной.

Пусть х – это аргумент функции f ( x ) и ∆ x возьмем малое число, не равное 0 . Значение ∆ x называют приращением аргумента функции и читают как «дельта икс». На рисунке видно, что красная линия относится для изменений аргумента от значения х до x + ∆ x .

Когда значение аргумента x 0 переходит к x 0 + ∆ x , тогда и значение функции меняется от f ( x 0 ) до f ( x 0 + ∆ x ) , если имеется условие монотонности функции из отрезка [ x 0 ; x 0 + ∆ x ] . Приращение функции f ( x ) – это разность f ( x 0 + ∆ x ) – f ( x 0 ) = ∆ f ( x ) приращения аргумента. Это приведено на рисунке, расположенном ниже.

Читайте также:  Вай фай роутер для загородного дома

Для полного уяснения рассмотрим на конкретном примере. Если взять функцию f ( x ) = sin ( x 2 ) , тогда следует зафиксировать точку x 0 = 1 . 6 и приращение аргумента вида ∆ x = 0 . 4 . Тогда получим, что приращение функции при переходе от x 0 = 1 . 6 к x 0 + ∆ x = 1 . 6 + 0 . 4 = 2 будет равно:

∆ f ( x ) = ∆ sin ( x 2 ) = sin ( ( x 0 + ∆ x ) 2 ) – sin ( x 0 2 ) = = sin 2 2 – sin 1 . 6 2 = sin 4 – sin 2 . 56 ≈ – 1 . 306

Так как приращение ∆ f ( x ) отрицательное из отрезка [ 1 . 6 ; 2 ] , то это указывает на убывание функции. Обозначим это графически.

Определение производной функции в точке

Когда функция вида f ( x ) определена из промежутка ( a ; b ) , тогда x 0 и x 0 + ∆ x считаются точками данного промежутка. Производная функции f ( x ) в точке x 0 – это предел отношений приращения функции к приращению аргумента, когда ∆ x → 0 . Данное определение записывается как f ‘ ( x 0 ) = lim ∆ x → 0 ∆ f ( x ) ∆ x .

Если последний предел принимает конкретное значение, тогда существует конечная производная в точке. Когда предел бесконечен, то и сама производная бесконечна в этой точке. Когда предел не существует, то и производной в заданной точке не существует.

Функция f ( x ) дифференцируема в точке x 0 , если конечная производная в ней существует.

Когда функция вида f ( x ) дифференцируема в каждой точке из промежутка ( a ; b ) , тогда функцию называют дифференцируемой на заданном промежутке. Отсюда получаем, что любая точка х из промежутка ( a ; b ) может принимать значения функции f ‘ ( x ) , иначе говоря, имеет место определение новой функции вида f ‘ ( x ) , которая называется производной функции f ( x ) из интервала ( a ; b ) .

Нахождение производной иначе называют дифференцированием

Из выше указанного получаем, что производная в точке является числом, а производная функции на промежутке является функцией. Когда необходимо вычислять производную, обязательно обращаемся к нахождению переделов.

Найти производную функции sin ( 2 x ) в точке x 0 = π 6 .

Для нахождения производной в точке необходимо начать с написания предела отношения приращения функции к приращению аргумента, применив тригонометрические формулы. Получаем, что

( sin ( 2 x 0 ) ) ‘ = lim ∆ x → 0 ∆ sin ( 2 x 0 ) ∆ x = lim ∆ x → 0 sin ( 2 ( x 0 + ∆ x ) ) – sin ( 2 x 0 ) ∆ x = = lim ∆ x → 0 2 · sin 2 ( x 0 + ∆ x ) – 2 x 0 3 · cos 2 ( x 0 + ∆ x ) + 2 x 0 2 ∆ x = = 2 · lim ∆ x → 0 sin ( ∆ x ) · cos ( 2 x 0 + ∆ x ) ∆ x

Читайте также:  Pci e exp gdc

Для упрощения используем первый замечательный предел и в результате получаем, что

( sin ( 2 x 0 ) ) ‘ = 2 · lim ∆ x → 0 sin ( ∆ x ) · cos ( 2 x 0 + ∆ x ) ∆ x = = 2 · lim ∆ x → 0 sin ( ∆ x ) ∆ x · lim ∆ x → 0 cos ( 2 x 0 + ∆ x ) = = 2 · 1 · cos ( 2 x 0 + 0 ) = 2 cos ( 2 x 0 ) = 2 cos 2 · π 6 = = 2 cos π 3 = 2 · 1 2 = 1

Ответ: ( sin ( 2 x 0 ) ) ‘ = 1 .

Найти производную функции f ( x ) = 3 x 3 – 1 из промежутка x ∈ 1 3 3 ; + ∞

Для поиска производной из интервала понимаем, что результат должен быть функцией. Тогда x 0 = x , где значение х возьмем любое число из заданного промежутка x ∈ 1 3 3 ; + ∞ . Из определения видно, что производной считают отношение приращения функции на приращение аргумента, который стремится к нулю. Запишем

f ‘ ( x ) = 3 x 3 – 1 ‘ = lim ∆ x → 0 f ( x + ∆ x ) – f ( x ) ∆ x = = lim ∆ x → 0 3 ( 3 + ∆ x ) 3 – 1 – 3 x 3 – 1 ∆ x = " open=" 0 0

Получаем неопределенность в результате. Поэтому следует произвести домножение на сопряженное выражение для применения формул сокращенного умножения, приведения подобных слагаемых и последующим сокращением выражения. Тогда получим, что

f ‘ ( x ) = lim ∆ x → 0 3 ( x + ∆ x ) 3 – 1 – 3 x 3 – 1 ∆ x = = lim ∆ x → 0 ( 3 ( x + ∆ x ) 3 – 1 – 3 x 3 – 1 ) ( 3 ( x + ∆ x ) 3 – 1 + 3 x 3 – 1 ) ∆ x · ( 3 ( x + ∆ x ) 3 – 1 + 3 x 3 – 1 ) = = lim ∆ x → 0 3 ( x + ∆ x ) 3 – 1 – 3 x 3 – 1 2 ∆ x · 3 ( x + ∆ x ) 3 – 1 + 3 x 3 – 1 = = lim ∆ x → 0 3 ( x + ∆ x ) 3 – 1 – ( 3 x 3 – 1 ) ∆ x · 3 ( x + ∆ x ) 3 – 1 + 3 x 3 – 1 = = 3 · lim ∆ x → 0 3 x 2 + 3 x ∆ x + ( ∆ x ) 2 3 ( x + ∆ x ) 3 – 1 + 3 x 3 – 1 = = 3 · 3 x 2 + 3 x · 0 + ( 0 ) 2 3 ( x + 0 ) 3 – 1 + 3 x 3 – 1 = 9 x 2 2 3 x 3 – 1

Ответ: 3 x 3 – 1 ‘ = 9 x 2 2 3 x 3 – 1 и x ∈ 1 3 3 ; + ∞

Для решения таких примеров необходимо учитывать то, что область определения функции f ( x ) может не совпадать с областью определения производной этой функции. Предыдущий пример имеет область определения вида D f x : x ∈ [ 1 3 3 ; + ∞ ) , а производная определена на интервале D f x : x ∈ 1 3 3 ; + ∞ . То есть при дифференцировании функция f ‘ ( x ) – это производная заданной функции f ( x ) из промежутка x ∈ D ( f ( x ) ) D ( f ‘ ( x ) ) .

Получение формул таблиц производных основано на определении производной. Они достаточно удобны, что способствует скорейшему дифференцированию сложных выражений. Использование понятия производной применяют для доказательств правил дифференцирования.

Комментировать
2 просмотров
Комментариев нет, будьте первым кто его оставит

Это интересно
No Image Компьютеры
0 комментариев
No Image Компьютеры
0 комментариев
No Image Компьютеры
0 комментариев
No Image Компьютеры
0 комментариев
Adblock detector