No Image

Формула муавра лапласа примеры решения задач

СОДЕРЖАНИЕ
3 просмотров
11 марта 2020

На этой странице вы найдете решения типовых задач по теории вероятностей на использование теорем Лапласа (интегральной и локальной, еще их называют формулами Муавра-Лапласа) и их следствия.

Данные приближенные формулы применяются, когда мы по-прежнему решаем задачи схемы независимых испытаний Бернулли (примеры тут), но речь идет уже об очень большом числе испытаний (стандартные условия $n>100$, $np>20$). Непосредственные вычисления по формуле Бернулли трудоемки, и мы прибегаем к удобным и простым теоремам Муавра-Лапласа.

Формулы Муавра-Лапласа

Рассмотрим $n$ независимых испытаний, в каждом из которых событие может произойти с одной и той же вероятностью $p$. Тогда при больших $n$ вероятности можно вычислять по приближенным формулам Муавра-Лапласа.

Вероятность того, что событие наступит в точности $k$ раз, можно вычислить по формуле (локальная теорема Лапласа):

Значения функции $phi (x) =frac<1><sqrt<2pi>> e^<-x^2/2>$ берутся из таблиц.

Вероятность того, что событие наступит от $k_1$ до $k_2$ раз, можно вычислить по формуле (интегральная теорема Лапласа):

$$ P(k_1 le X le k_2) approx Phi left( frac<sqrt>
ight) – Phi left( frac<sqrt
>
ight) $$

Здесь $Phi(x)$ — нормированная функция Лапласа (ее значения берутся из таблиц)

Еще теорию по этой теме вы найдете в онлайн-учебнике.

Примеры решений

Локальная теорема Лапласа

Задача 1. Вероятность рождения мальчика равна 0,51. Найти вероятность того, что среди 100 новорожденных окажется 50 мальчиков.

Задача 2. Вычислительное устройство состоит из 1000 элементов, работающих независимо друг от друга. Вероятность отказа каждого элемента за смену равна $р$. Найти вероятность, что за смену откажут $m$ элементов.
$р=0,024, m=6$.

Задача 3. На конвейер за смену поступает 300 изделий. Вероятность того, что поступившая на конвейер деталь стандартна, равна 0,75. Найти вероятность того, что стандартных деталей на конвейер за смену поступило ровно 240.

Читайте также:  Жесткий диск иногда щелкает

Задача 4. Вероятность поражения мишени стрелком при одном выстреле равна 0,8 Найти вероятность того, что при 100 выстрелах стрелок поразит мишень ровно 75 раз. Найти наивероятнейшее число попаданий в цель.

Задача 5. Игральную кость подбрасывают 500 раз. Какова вероятность того, что цифра 1 при этом выпадет 50 раз?

Интегральная теорема Лапласа

Задача 6. В жилом доме имеется $n$ ламп, вероятность включения каждой из них в вечернее время равна 0,5. Найти вероятность того, что число одновременно включенных ламп будет между $m1$ и $m2$. Найти наивероятнейшее число включенных ламп среди $n$ и его соответствующую вероятность.
$n = 6400, m1 = 3120, m2 = 3200$.

Задача 7. Найти вероятность того, что если бросить монету 200 раз, то орел выпадет от 90 до 110 раз.

Задача 8. Вероятность изготовления годной детали равна 0,8. Произведено 500 деталей. Какое число годных деталей вероятнее получить: а) менее 390; б) от 390 до 410?

Задача 9. Стоматологическая клиника распространяет рекламные листовки у входа в метро. Опыт показывает, что в одном случае из тысячи следует обращение в клинику. Найти вероятность того, что при распространении 50 тыс. листков число обращений будет:
А) равно 41,
Б) находиться в границах от 36 до 47.

Задача 10. Страховая компания заключила 40000 договоров. Вероятность страхового случая по каждому из них в течение года составляет 2%. Найти вероятность, что таких случаев будет не более 870.

Решебник по теории вероятностей

Тысячи решенных и оформленных задач на формулу Лапласа и другие темы:

Вероятность того, что число т появления события Л в схеме Бернулли находится в заданном промежутке а 5.

Замечание. Наряду с формулой (2.6) в учебниках функция Лапласа часто определяется формулой, в которой в числителе вместо 2 стоит 1. Поэтому при пользовании такими таблицами значения функции Ф(х) нужно удвоить.

Читайте также:  D link dir 615 открыть порты

Отметим два важных следствия из формулы (2.5).

Для частости т/п появления события А в п испытаниях Бернулли справедлива приближенная формула

а для числа т появлений события А —

Задача 2.1. В партии из 768 арбузов каждый арбуз оказывается неспелым с вероятностью q = 0,25. Найти вероятность того, что количество спелых арбузов будет находиться в пределах от 564 до 600.

Решение. Будем считать, что имеется п = 768 испытаний Бернулли с вероятностью успеха (зрелый арбуз), равной 0,75. Если т — число успехов, то требуется найти вероятность Р(а

Решение. Используем формулу (2,7), в которой/? = 1/2, q = 1/2, е = 0,001. Из условия

По значению функции Лапласа из таблиц находим соответствующий аргумент и получаем, что

Задача 2.3. Кандидата в высший орган власти поддерживает 80 % населения. В каких пределах с вероятностью 0,95 находится число проголосовавших «за» на выборах, если число избирателей равно 1 200 000?

Решение. Используем формулу (2.8), в которой п = 1 200 000, р – 0,8, q – 0,2:

По значению функции Лапласа из таблиц находим, что

Задача 2.4. В страховой компании 10 000 клиентов. Страховой взнос каждого из них составляет 500 руб. При наступлении страхового случая, вероятность которого можно считать равной р = 0,005, страховая компания выплачивает клиенту 50 000 руб. На какую минимальную прибыль может рассчитывать страховая компания с надежностью 0,95?

Решение. Пусть т — число страховых случаев. Прибыль компании d равна разности между общим страховым взносом и суммарной выплатой, т.е.

Минимум прибыли соответствует максимальному числу то страховых случаев — такому, что вероятность

Эту вероятность можно найти по формуле Муавра — Лапласа (условие npq = 10 000 • 0,005 • 0,995 = 49,75 > 20 выполнено). Тогда

Читайте также:  Create dxgi factory 2

Теперь имеем Ofe) = 1,9 + O(xi) = 0,9. По таблицам находим значение аргумента х2 = 1,645. Следовательно,

а минимальная гарантированная прибыль

Администратор
Роман

Tel. +380685083397
[email protected]
skype, facebook:
roman.yukhym

Решение задач
Андрей

facebook:
dniprovets25

Комментировать
3 просмотров
Комментариев нет, будьте первым кто его оставит

Это интересно
No Image Компьютеры
0 комментариев
No Image Компьютеры
0 комментариев
No Image Компьютеры
0 комментариев
No Image Компьютеры
0 комментариев
Adblock detector