No Image

Функция не имеет производной в точке

СОДЕРЖАНИЕ
1 просмотров
11 марта 2020

УСЛОВИЕ:

Доказать, что функция y=|x| не имеет производной в точке x0=0

РЕШЕНИЕ ОТ SOVA ✪ ЛУЧШЕЕ РЕШЕНИЕ

По определению производной в точке.
Производная – предел отношения приращения функции к приращению аргумента

х_(о)=0
х_(о)+ Δх
f(x_(o))=0
f(x_(0)+ Δx)=f(0+ Δx)=f( Δx)=| Δx|
Приращение функции
Δf= f(x_(0)+ Δx)-f(x_(o))=
=f(0+ Δx)-f(0)=f( Δx)=| Δx|

При Δх > 0
lim_(Δx→0+0) Δx/ Δx=1
При Δx

Функции, не имеющие производной. Правая и левая производные

Введем два новых определения. Если ? стремится к нулю, принимая только положительные значения, то предел отношения

(если он существует) называется производной справа или правой производной от функции ѓ() в точке ?, а если ? стремится к нулю, принимая только отрицательные значения, то предел этого же отношения (если он существует) есть производная слева или левая производная. Производную справа обозначают символом , а производную слева – символом .

Если производная справа и производная слева равны между собой, то функция, очевидно, имеет производную в точке в обычном смысле слова.

Наиболее простые примеры функций, имеющих в некоторой точке правую и левую производные, не совпадающие между собой, дают нам функции, графики которых представляют собой ломаные линии.

В самом деле, пусть 1, 2, … , к, … , s – некоторое число различных точек на оси . Построим ломаную так, чтобы ее вершины имели абсциссы, равные х1, 2, … , к, … , s (рис. 12). Функция ѓ(), графиком которой является эта ломаная *), не имеет производной в точках 1, 2, … , к, … , s .

*) Очевидно, каждая прямая, перпендикулярная к оси Ох, пересекает ломаную не более чем в одной точке, и ломаная представляет собой график некоторой однозначной функции.

Для того чтобы это доказать, рассмотрим какую-нибудь точку Q с абсциссой к. График функции в окрестности этой точки имеет вид, изображенный на рис. 13.

Для всякой прямой линии секущая в некоторой ее точке, а, следовательно, и касательная (как предельное положение этой секущей), совпадают с самой прямой; значит, угол секущей, а, следовательно, и касательной к прямой с осью , есть тот же самый, что и угол самой прямой с осью х.

Обозначим угол прямой AQ с осью через б и угол прямой QB с осью через в. Проводим секущую через точку Q и точки М1 и М2, находящиеся слева и справа от Q. Левая секущая совпадает с прямой AQ, а правая – с прямой QB.

Читайте также:  Jinn client лицензионный ключ где взять

Ясно, что если рассматривать Q как точку прикосновения, то у секущей будет два предельных положения, или, как иногда говорят, кривая в этой точке будет иметь правую касательную, совпадающую с прямой QB, и левую касательную, совпадающую с прямой AQ. Угол между осью и левой касательной, очевидно, равен б, а угол между осью и правой касательной равен в. Так как б и в различны, то и

Таким образом, в точке Q у нашей линии нет определенной касательной, а так как производная равна тангенсу угла касательной с осью , то производная слева не равна производной справа и не существует в точке Q.

Рассмотрим еще один пример функций с различными производными слева и справа. Пусть требуется найти производную от функции

Функция, очевидно, определена в промежутке -1??+1. График ее изображен на рис. 14. Кривая заканчивается в точках М(-1, +1) и N(+1, +1), так как для ||>1 функция не определена.

Находим производную в точке х:

Полагая х=0, находим значение производной в точке О(0, 0):

Чтобы найти предел, мы умножаем и числитель, и знаменатель на

Так как рассматривается арифметическое (положительное) значение квадратного корня, то 2 =?, если ?х>0, но 2 =-?, если ? 0, то

а если ? 0, принимая только положительные значения, ни тогда, когда ?>0, принимая только отрицательные значения. В этом случае функция не будет иметь в данной точке производной ни в обычном смысле слова, ни в правой, ни в левой.

Как пример такого случая рассмотрим функцию =ѓ(), определенную двумя равенствами:

Вычислим производную этой функции при х=0. Составим приращение ?:

при =0 будем иметь:

и согласно принятому условию ѓ(0)=0, то

Итак, значение производной в точке (0, 0) должно быть равным

Но так как sin при ?>0 не стремится ни к какому пределу, то при =0 не существует ни левой, ни правой касательной.

Главная Шутки Форум
План занятий

Применение производной в исследовании функций

Непрерывность и дифференцируемость функции.

Достаточные признаки монотонности функции.

Читайте также:  Как проверить уровень чернил в принтере epson

Теорема Дарбу. Интервалы монотонности.

Критические точки. Экстремум (минимум, максимум).

Необходимое условие экстремума.

Достаточные условия экстремума.

План исследования функции.

Связь между непрерывностью и дифференцируемостью функции. Если функция f ( x ) дифференцируема в некоторой точке, то она непрерывна в этой точке. Обратное неверно: непрерывная функция может не иметь производной.

С л е д с т в и е . Если функция разрывна в некоторой точке, то она не имеет производной в этой точке.

П р и м е р .

Функция y = | x | ( рис.3 ) всюду непрерывна, но она не имеет производной при x = 0 , так как в этой точке не существует касательной к графику этой функции. ( Подумайте, почему ? )

Достаточные признаки монотонности функции.

Если f ’( x ) > 0 в каждой точке интервала ( a , b ), то функция f ( x ) возрастает на этом интервале.

Если f ’( x ) 0 в каждой точке интервала ( a , b ) , то функция f ( x ) убывает на этом интервале.

Теорема Дарбу. Точки, в которых производная функции равна 0 или не существует, делят область определения функции на интервалы, внутри которых производная сохраняет знак.

Используя эти интервалы, можно найти интервалы монотонности функций, что очень важно при их исследовании.


Следовательно, функция возрастает на интервалах ( – , 0 ) и ( 1, + ) и убывает на интервале ( 0, 1 ). Точка x = 0 не входит в область определения функции, но по мере приближения x к 0 слагаемое x – 2 неограниченно возрастает, поэтому функция также неограниченно возрастает. В точке x = 1 значение функции равно 3. В соответствии с этим анализом мы можем пост роить график функции ( рис.4б ) .

Критические точки. Внутренние точки области определения функции, в которых производная равна нулю или не существует, называются критическими точками этой функции. Эти точки очень важны при анализе функции и построении её графика, потому что только в этих точках функция может иметь экстремум ( минимум или максимум , рис.5а,б).

В точках x 1 , x 2 ( рис.5 a ) и x 3 ( рис.5 b ) производная равна 0; в точках x 1 , x 2 ( рис.5б ) производная не существует. Но все они точки экстремума.

Необходимое условие экстремума. Если x – точка экстремума функции f(x) и производная f’ существует в этой точке, то f’(x)=0.

Эта теорема – необходимое условие экстремума. Если производная функции в некоторой точке равна 0, то это не значит, что функция имеет экстремум в этой точке. Например, производная функции f ( x ) = x 3 равна 0 при x = 0, но эта функция не имеет экстремум в этой точке ( рис.6 ).

Читайте также:  Почему айфон так быстро разряжается

С другой стороны, функция y = | x | , представленная на рис.3, имеет минимум в точке x = 0 , но в этой точке производной не существует.

Достаточные условия экстремума.

Если производная при переходе через точку x меняет свой знак с плюса на минус, то x – точка максимума.

Если производная при переходе через точку x меняет свой знак с минуса на плюс, то x – точка минимума.

План исследования функции. Для построения графика функции нужно:

1) найти область определения и область значений функции,

2) установить, является ли функция чётной или нечётной,

3) определить, является ли функция периодической или нет,

4) найти нули функции и её значения при x = 0,

5) найти интервалы знакопостоянства,

6) найти интервалы монотонности,

7) найти точки экстремума и значения функции в этих точках,

8) проанализировать поведение функции вблизи “особых” точек

и при больших значениях модуля x .

П р и м е р . Исследуйте функцию f ( x ) = x 3 + 2 x 2 – x – 2 и постройте график.

Р е ш е н и е . Исследуем функцию по вышеприведенной схеме.

1) область определения x R ( x – любое действительное число);

область значений y R , так как f ( x ) – многочлен нечётной

2) функция f ( x ) не является ни чётной, ни нечётной

3) f ( x ) – непериодическая функция ( докажите это сами );

4) график функции пересекается с осью Y в точке ( 0, – 2 ),

так как f ( 0 ) = – 2 ; чтобы найти нули функции нужно

решить уравнение: x 3 + 2 x 2 – x – 2 = 0, один из корней

которого ( x = 1 ) очевиден. Другие корни находятся

( если они есть! ) из решения квадратного уравнения:

x 2 + 3 x + 2 = 0, которое получено делением многочлена

x 3 + 2 x 2 – x – 2 на двучлен ( x – 1 ). Легко проверить,

что два других корня: x 2 = – 2 и x 3 = – 1. Таким образом,

нулями функции являются: – 2, – 1 и 1.

5) Это значит, что числовая ось делится этими корнями на

четыре интервала знакопостоянства, внутри которых

функция сохраняет свой знак :

Этот результат может быть получен разложением

многочлена на множители:

6) Производная f ’ ( x ) = 3 x 2 + 4 x – 1 не имеет точек, в которых

она не существует, поэтому её область определения R ( все

действительные числа ); нули f ’ ( x ) – это корни уравнения:

Комментировать
1 просмотров
Комментариев нет, будьте первым кто его оставит

Это интересно
No Image Компьютеры
0 комментариев
No Image Компьютеры
0 комментариев
No Image Компьютеры
0 комментариев
No Image Компьютеры
0 комментариев
Adblock detector