Как доказать что предел равен бесконечности

Конечный предел функции на бесконечности

Определение предела по Коши
Число a называется пределом функции f ( x ) при x стремящемся к бесконечности ( ), если
1) существует такая окрестность бесконечно удаленной точки |x| > K , на которой функция определена (здесь K – положительное число);
2) для любого, сколь угодно малого положительного числа ε > 0 , существует такое число N_ε > K , зависящее от ε , что для всех x, |x| > N_ε , значения функции принадлежат ε – окрестности точки a :
|f ( x ) – a| .
Предел функции на бесконечности обозначается так:
.
Или при .

Также часто используется следующее обозначение:
.

Запишем это определение, используя логические символы существования и всеобщности:
.
Здесь подразумевается, что значения принадлежат области определения функции.

Односторонние пределы

Часто встречаются случаи, когда функция определена только для положительных или отрицательных значений переменной x (точнее в окрестности точки или ). Также пределы на бесконечности для положительных и отрицательных значений x могут иметь различные значения. Тогда используют односторонние пределы.

Левый предел в бесконечно удаленной точке или предел при x стремящемся к минус бесконечности ( ) определяется так:
.
Правый предел в бесконечно удаленной точке или предел при x стремящемся к плюс бесконечности ( ) :
.
Односторонние пределы на бесконечности часто обозначают так:
; .

Бесконечный предел функции на бесконечности

Определение бесконечного предела по Коши
Предел функции f ( x ) при x стремящемся к бесконечности ( ), равен бесконечности, если
1) существует такая окрестность бесконечно удаленной точки |x| > K , на которой функция определена (здесь K – положительное число);
2) для любого, сколь угодно большого числа M > 0 , существует такое число N_M > K , зависящее от M , что для всех x, |x| > N_M , значения функции принадлежат окрестности бесконечно удаленной точки:
|f ( x ) | > M .
Бесконечный предел при x стремящемся к бесконечности обозначают так:
.
Или при .

С помощью логических символов существования и всеобщности, определение бесконечного предела функции можно записать так:
.

Аналогично вводятся определения бесконечных пределов определенных знаков, равных и :
.
.

Определения односторонних пределов на бесконечности.
Левые пределы.
.
.
.
Правые пределы.
.
.
.

Определение предела функции по Гейне

Число a (конечное или бесконечно удаленное) называется пределом функции f ( x ) в точке x :
,
если
1) существует такая окрестность бесконечно удаленной точки x , на которой функция определена (здесь или или );
2) для любой последовательности < x_n > , сходящейся к x : ,
элементы которой принадлежат окрестности , последовательность < f ( x_n )> сходится к a :
.

Если в качестве окрестности взять окрестность бесконечно удаленной точки без знака: , то получим определение предела функции при x стремящемся к бесконечности, . Если взять левостороннюю или правостороннюю окрестность бесконечно удаленной точки x : или , то получим определение предела при x стремящемся к минус бесконечности и плюс бесконечности, соответственно.

Определения предела по Гейне и Коши эквивалентны.

Примеры

Пример 1

Используя определение Коши показать, что
.

Введем обозначения:
.
Найдем область определения функции . Поскольку числитель и знаменатель дроби являются многочленами, то функция определена для всех x кроме точек, в которых знаменатель обращается в нуль. Найдем эти точки. Решаем квадратное уравнение. ;
.
Корни уравнения:
; .
Поскольку , то и .
Поэтому функция определена при . Это мы будем использовать в дальнейшем.

Выпишем определение конечного предела функции на бесконечности по Коши:
.
Преобразуем разность:
.
Разделим числитель и знаменатель на и умножим на –1 :
.

Итак, мы нашли, что при ,
.
Вводим положительные числа и :
.
Отсюда следует, что
при , и .

Поскольку всегда можно увеличить, то возьмем . Тогда для любого ,
при .
Это означает, что .

Пример 2

Пусть .
Используя определение предела по Коши показать, что:
1) ;
2) .

1) Решение при x стремящемся к минус бесконечности

Поскольку , то функция определена для всех x .
Выпишем определение предела функции при , равного минус бесконечности:
.

Итак, мы нашли, что при ,
.
Вводим положительные числа и :
.
Отсюда следует, что для любого положительного числа M , имеется число , так что при ,
.

Это означает, что .

2) Решение при x стремящемся к плюс бесконечности

Преобразуем исходную функцию. Умножим числитель и знаменатель дроби на и применим формулу разности квадратов:
.
Имеем:

.
Выпишем определение правого предела функции при :
.

Введем обозначение: .
Преобразуем разность:
.
Умножим числитель и знаменатель на :
.

Итак, мы нашли, что при ,
.
Вводим положительные числа и :
.
Отсюда следует, что
при и .

Поскольку это выполняется для любого положительного числа , то
.

Использованная литература:
С.М. Никольский. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 1983.

Автор: Олег Одинцов . Опубликовано: 17-05-2018

Определение пределов последовательности и функции, свойства пределов, первый и второй замечательные пределы, примеры.

Постоянное число а называется пределом последовательности _{n>, если для любого сколь угодно малого положительного числа ε > 0 существует номер N, что все значения x}_n_, у которых n>N, удовлетворяют неравенству

|x_n – a| N, лежат внутри интервала (a-ε , a+ε), т.е. попадают в какую угодно малую ε-окрестность точки а.

Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся, в противном случае – расходящейся.

Понятие предел функции является обобщением понятия предел последовательности, так как предел последовательности можно рассматривать как предел функции x_n = f(n) целочисленного аргумента n.

Пусть дана функция f(x) и пусть a – предельная точка области определения этой функции D(f), т.е. такая точка, любая окрестность которой содержит точки множества D(f), отличные от a. Точка a может принадлежать множеству D(f), а может и не принадлежать ему.

Определение 1. Постоянное число А называется предел функции f(x) при x→ a, если для всякой последовательности _n> значений аргумента, стремящейся к а, соответствующие им последовательности _n)> имеют один и тот же предел А.

Это определение называют определением предела функции по Гейне, или “на языке последовательностей”.

Определение 2. Постоянное число А называется предел функции f(x) при x→a, если, задав произвольное, как угодно малое положительное число ε, можно найти такое δ >0 (зависящее от ε), что для всех x, лежащих в ε-окрестности числа а, т.е. для x, удовлетворяющих неравенству
0 » 2.7 – основание натурального логарифма. Формулы (6.10) и (6.11) носят название первый замечательного предел и второй замечательный предел.

Используются на практике и следствия формулы (6.11):

(6.12)

(6.13)

(6.14)

в частности предел,

Eсли x → a и при этом x > a, то пишут x →a + 0. Если, в частности, a = 0, то вместо символа 0+0 пишут +0. Аналогично если x→a и при этом x и называются соответственно предел справа и предел слева функции f(x) в точке а. Чтобы существовал предел функции f(x) при x→ a необходимо и достаточно, чтобы . Функция f(x) называется непрерывной в точке x, если предел

(6.15)

Условие (6.15) можно переписать в виде:

то есть возможен предельный переход под знаком функции, если она непрерывна в данной точке.

Если равенство (6.15) нарушено, то говорят, что при x = x_o функция f(x) имеет разрыв. Рассмотрим функцию y = 1/x. Областью определения этой функции является множество R, кроме x = 0. Точка x = 0 является предельной точкой множества D(f), поскольку в любой ее окрестности, т.е. в любом открытом интервале, содержащем точку 0, есть точки из D(f), но она сама не принадлежит этому множеству. Значение f(x_o)= f(0) не определено, поэтому в точке x_o = 0 функция имеет разрыв.

Функция f(x) называется непрерывной справа в точке x_o, если предел

и непрерывной слева в точке x_o, если предел

Непрерывность функции в точке x_o равносильна ее непрерывности в этой точке одновременно и справа и слева.

Для того, чтобы функция была непрерывна в точке x_o, например, справа, необходимо, во-первых, чтобы существовал конечный предел , а во-вторых, чтобы этот предел был равен f(x_o). Следовательно, если хотя бы одно из этих двух условий не выполняется, то функция будет иметь разрыв.

1. Если предел существует и не равен f(x_o), то говорят, что функция f(x) в точке x_o имеет разрыв первого рода, или скачок.

2. Если предел равен +∞ или -∞ или не существует, то говорят, что в точке x_o функция имеет разрыв второго рода.

Например, функция y = ctg x при x → +0 имеет предел, равный +∞ , значит, в точке x=0 она имеет разрыв второго рода. Функция y = E(x) (целая часть от x) в точках с целыми абсциссами имеет разрывы первого рода, или скачки.

Функция, непрерывная в каждой точке промежутка [a,b], называется непрерывной в [a,b]. Непрерывная функция изображается сплошной кривой.

Ко второму замечательному пределу приводят многие задачи, связанные с непрерывным ростом какой-либо величины. К таким задачам, например, относятся: рост вклада по закону сложных процентов, рост населения страны, распад радиоактивного вещества, размножение бактерий и т.п.

Рассмотрим пример Я. И. Перельмана, дающий интерпретацию числа e в задаче о сложных процентах. Число e есть предел . В сбербанках процентные деньги присоединяются к основному капиталу ежегодно. Если присоединение совершается чаще, то капитал растет быстрее, так как в образовании процентов участвует большая сумма. Возьмем чисто теоретический, весьма упрощенный пример. Пусть в банк положено 100 ден. ед. из расчета 100 % годовых. Если процентные деньги будут присоединены к основному капиталу лишь по истечении года, то к этому сроку 100 ден. ед. превратятся в 200 ден.ед. Посмотрим теперь, во что превратятся 100 ден. ед., если процентные деньги присоединять к основному капиталу каждые полгода. По истечении полугодия 100 ден. ед. вырастут в 100 ×1,5 = 150, а еще через полгода – в 150× 1,5 = 225 (ден. ед.). Если присоединение делать каждые 1/3 года, то по истечении года 100 ден. ед. превратятся в 100 × (1 +1/3) 3 ≈ 237 (ден. ед.). Будем учащать сроки присоединения процентных денег до 0,1 года, до 0,01 года, до 0,001 года и т.д. Тогда из 100 ден. ед. спустя год получится:

100×(1 +1/10) 10 ≈ 259 (ден. ед.),

100×(1+1/100) 100 ≈ 270 (ден. ед.),

100×(1+1/1000) 1000 ≈271 (ден. ед.).

При безграничном сокращении сроков присоединения процентов наращенный капитал не растет беспредельно, а приближается к некоторому пределу, равному приблизительно 271. Более чем в 2,71 раз капитал, положенный под 100% годовых, увеличиться не может, даже если бы наросшие проценты присоединялись к капиталу каждую секунду, потому что предел

Пример 3.1. Пользуясь определением предела числовой последовательности, доказать, что последовательность x_n =(n-1)/n имеет предел, равный 1.

Решение. Нам надо доказать, что, какое бы ε > 0 мы ни взяли, для него найдется натуральное число N, такое, что для всех n > N имеет место неравенство |x_n -1| 0. Так как x_n -1 =(n+1)/n – 1= 1/n, то для отыскания N достаточно решить неравенство 1/n 1/ε и, следовательно, за N можно принять целую часть от 1/ε N = E(1/ε). Мы тем самым доказали, что предел .

Пример 3.2. Найти предел последовательности, заданной общим членом .

Решение. Применим теорему предел суммы и найдем предел каждого слагаемого. При n → ∞ числитель и знаменатель каждого слагаемого стремится к бесконечности, и мы не можем непосредственно применить теорему предел частного. Поэтому сначала преобразуем x_n, разделив числитель и знаменатель первого слагаемого на n 2 , а второго на n. Затем, применяя теорему предел частного и предел суммы, найдем:

Пример 3.3. . Найти .

Решение.

Здесь мы воспользовались теоремой о пределе степени: предел степени равен степени от предела основания.

Пример 3.4. Найти ().

Решение. Применять теорему предел разности нельзя, поскольку имеем неопределенность вида ∞-∞. Преобразуем формулу общего члена:

Пример 3.5. Дана функция f(x)=2 1/x . Доказать, что предел не существует.

Решение. Воспользуемся определением 1 предела функции через последовательность. Возьмем последовательность < x_n >, сходящуюся к 0, т.е. Покажем, что величина f(x_n)= для разных последовательностей ведет себя по-разному. Пусть x_n = 1/n. Очевидно, что , тогда предел Выберем теперь в качестве x_n последовательность с общим членом x_n = -1/n, также стремящуюся к нулю. Поэтому предел не существует.

Пример 3.6. Доказать, что предел не существует.

Решение. Пусть x₁, x₂. x_n. – последовательность, для которой
. Как ведет себя последовательность _n)> = n > при различных x_n→ ∞

Если x_n= p n, то sin x_n= sin ( p n) = 0 при всех n и предел Если же
x_n=2 p n+ p /2, то sin x_n= sin(2 p n+ p /2) = sin p /2 = 1 для всех n и следовательно предел . Таким образом, не существует.

Пример 3.7 Найти предел

Решение. Имеем: . Обозначим t = 5x. При x →0 имеем: t →0. Применяя формулу (3.10), получим .

Пример 3.8. Вычислить предел .

Решение. Обозначим y=π-x. Тогда при x→π, y→0. Имеем:

sin 3x = sin 3(π-y) = sin(3π-3y) = sin 3y.

sin 4x = sin 4(π-y) = sin (π4-4y)= – sin 4y.

_Предел

Пример 3.9. Найти предел .

Решение. Обозначим arcsin x=t. Тогда x=sin t и при x→0, t→0. .

Пример 3.10. Найти 1) ;

2) ;

3) .

1) Применяя теорему 1 предел разности и предел произведения, находим предел знаменателя: .

Предел знаменателя не равен нулю, поэтому, по теореме 1 предел частного, получаем:

2) Здесь числитель и знаменатель стремятся к нулю, т.е. имеет место неопределенность вида 0/0. Теорема о пределе частного непосредственно неприменима. Для “раскрытия неопределенности” преобразуем данную функцию. Разделив числитель и знаменатель на x-2, получим при x ≠ 2 равенство:

Так как предел , то, по теореме предел частного, найдем

3. Числитель и знаменатель при x → ∞ являются бесконечно большими функциями. Поэтому теорема предел частного непосредственно не применима. Разделим числитель и знаменатель на x 2 и к полученной функции применим теорему предел частного:

Пример 3.11. Найти предел .

Решение. Здесь числитель и знаменатель стремятся к нулю:, x-9→0, т.е. имеем неопределенность вида .

Преобразуем данную функцию, умножив числитель и знаменатель на неполный квадрат суммы выражения , получим

Пример 3.12. Найти предел .

Решение.

Рассмотрим основные типы неопределенностей пределов на бесконечности с примерами решений:

$ [frac<0><0>] $
$ [infty – infty] $
$[frac<infty><infty>]^ <[infty]>и [1 ^ infty] $

Пример 1

Вычислить предел функции, стремящейся к бесконечности $ lim _limits frac$

Решение

Первым делом подставляем $ x o infty $ в предел, чтобы попытаться его вычислить.
$$ lim _limits frac = frac<infty> <infty>= $$

Вычисление не дало результата, так как появилась неопределенность. Чтобы устранить её, вынесем за скобки в числителе и знаменателе $x$ с наибольшей степенью.

Максимальная степень у $x^3$, поэтому вынесли именно её, а затем выполнили сокращение. Пользуясь тем, что $lim_limits frac<1> = 0$ получаем ответ.

Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Ответ $$ lim _limits frac = 1 $$

Так как предел стремится к бесконечности, то подставляем её в функцию под знаком предела.

Получили неопределенность. Для избавления от неё умножим и разделим функцию под знаком предела на сопряженную к ней. Она будет отличаться только одним знаком.

По формуле разности квадратов $ (a-b)(a+b) = a^2-b^2 $ сворачиваем числитель. А знаменатель пока не трогаем.

Снова подставляем бесконечность в предел и получаем $frac<1><infty>$, что равняется нулю. Поэтому записываем сразу ответ.

Пример 2

Решить предел с бесконечностью $lim_limits sqrt-x$

Решение

Ответ

$$ lim_limits sqrt-x = 0 $$

При подставлении $x o infty $ в предел получаем неопределенность. $$ lim_limits igg (frac<3x-4> <3x+2>igg)^frac <2>= igg[frac<infty><infty>igg]^ <[infty]>$$

Для решения примера понадобится формула второго замечательного предела. $$lim_limits igg(1+frac<1> igg)^x = e qquad (1) $$

Из выражения, стоящего под знаком предела вычитаем единицу, чтобы его подстроить под формулу (1).

Перепишем предел из условия задачи в новом виде и подставим в него $x o infty$.

Пользуясь формулой (1) проведем вычисление лимита. В скобках перевернем дробь.

По условиями формулы второго замечательного предела (1) в скобках знаменатель дроби должен быть равен степени за скобкой. Выполним преобразование степени. Для этого умножим и разделим на $frac<3x+2><-6>$.

Остаётся сократить степень экспоненты и найти её предел.

Предел дроби равен отношению коэффициентов при старшей степени $x$.

Пример 3

Решить предел на бесконечности $lim_limits igg (frac<3x-4> <3x+2>igg)^frac <2>$

Решение