Как найти промежутки монотонности функции без производной

Пример 1.Найти промежутки монотонности и экстремумы функции

Шаг 1. Находим область определения функции: .

Шаг 2. Определяем все стационарные точки. Для этого находим производную и приравниваем ее к нулю, решаем полученное уравнение и выбираем подходящие корни.

. Корни уравнения: которые являются стационарными точками.

Шаг 3. Определяем все критические точки. Для этого найдем те точки, в которых производная не существует. Критических точек нет.

Шаг 4. Рисуем числовую ось, на нее наносим пустыми точки, в которых нарушается область определения, а затем закрашенными стационарные и критические точки. Эти точки разбивают числовую ось на промежутки, в каждом из которых производная сохраняет знак.

Шаг 5. Определяем знак производной на каждом из промежутков, выбирая точки из промежутков и подставляя в производную.

Шаг 6. Делаем выводы, используя достаточное условие экстремума и достаточное условие монотонности.

Функция убывает в интервале , возрастает в интервалах и . Кроме того, в окрестностях стационарных точек и производная меняет знак, значит, они являются точками экстремума. Таким образом, – точка максимума и – точка минимума .

Ответ: функция убывает в интервале , возрастает в интервалах и ; , .

Исследование функции с помощью производной

Определение : Точка х называется точкой локального минимума, если для любого х из окрестности точки х выполняется неравенство: f(x) .
Точки минимума и максимума функции называются точками экстремума данной функции, а значения функции в этих точках – экстремумами функции.
Точками экстремума могут служить только критические точки I рода, т.е. точки, принадлежащие области определения функции, в которых производная f′(x) обращается в нуль или терпит разрыв.

Правило нахождения экстремумов функции y=f(x) с помощью первой производной

1. Найти производную функции f′(x) .
2. Найти критические точки по первой производной, т.е. точки, в которых производная обращается в нуль или терпит разрыв.
3. Исследовать знак первой производной в промежутках, на которые найденные критические точки делят область определения функции f(x) . Если на промежутке f′(x) , то на этом промежутке функция убывает; если на промежутке f′(x)>0 , то на этом промежутке функция возрастает.
4. Если в окрестности критической точки f′(x) меняет знак с «+» на «-», то эта точка является точкой максимума, если с «-» на «+», то точкой минимума.
5. Вычислить значения функции в точках минимума и максимума.

С помощью приведенного алгоритма можно найти не только экстремумы функции, но и промежутки возрастания и убывания функции.

Пример №1 : Найти промежутки монотонности и экстремумы функции: f(x)=x 3 –3x 2 .
Решение: Найдем первую производную функции f′(x)=3x 2 –6x.
Найдем критические точки по первой производной, решив уравнение 3x 2 –6x=0; 3x(x-2)=0 ;x = 0, x = 2

Исследуем поведение первой производной в критических точках и на промежутках между ними.

f(0) = 0 3 – 3*0 2 = 0
f(2) = 2 3 – 3*2 2 = -4
Ответ: Функция возрастает при x∈(-∞ ; 0)∪(2; +∞); функция убывает при x∈(0;2);
точка минимума функции (2;-4); точка максимума функции (0;0).

Правило нахождения экстремумов функции y=f(x) с помощью второй производной

1. Найти производную f′(x) .
2. Найти стационарные точки данной функции, т.е. точки, в которых f′(x)=0 .
3. Найти вторую производную f″(x) .
4. Исследовать знак второй производной в каждой из стационарных точек. Если при этом вторая производная окажется отрицательной, то функция в такой точке имеет максимум, а если положительной, то – минимум. Если же вторая производная равна нулю, то экстремум функции надо искать с помощью первой производной.
5. Вычислить значения функции в точках экстремума.

Отсюда следует, что дважды дифференцируемая функция f(x) выпукла на отрезке [a, b], если вторая производная f"(x) ≥ 0 при всех х [a, b].

Все вычисления можно проделать в онлайн режиме.

Пример №2 . Исследовать на экстремум с помощью второй производной функцию: f(x) = x 2 – 2x – 3.
Решение: Находим производную: f′(x) = 2x – 2.
Решая уравнение f′(x) = 0, получим стационарную точку х =1. Найдем теперь вторую производную: f″(x) = 2.
Так как вторая производная в стационарной точке положительна, f″(1) = 2 > 0, то при x = 1 функция имеет минимум: f_min = f(1) = -4.
Ответ: Точка минимума имеет координаты (1; -4).

Опр.: Функция называется возрастающей на некотором промежутке, если в этом промежутке каждому большему значению аргумента соответствует большее значение функции.

Опр.: Функция называется убывающей на некотором промежутке, если в этом промежутке каждому большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

Как возрастающие. так и убывающие функции называются монотонными.

Если функция не является монотонной, то область ее определения можно разбить на конечное число промежутков монотонности, которые могут чередоваться с промежутками постоянства функции.

Монотонность функции y = f(x) характеризуется знаком ее первой производной f ¤ (x), а именно, если в некотором промежутке f ¤ (x) > 0, то функция возрастает в этом промежутке, если в некотором промежутке f ¤ (x) ¤ (x).

Отсюда получаем правило для нахождения промежутков монотонности функции y = f(x)

1. Найти нули и точки разрыва f ¤ (x).

2. Определить методом проб знак f ¤ (x) в промежутках, на которые полученные в п.1 точки делят область определения функции f(x).

Пример:

Найти промежутки монотонности функции у = – х 2 + 10х + 7

Данная функция определена на всей числовой оси., т.е. D(y) = R

Найдем f ¤ (x). y¢ = -2х +10

Точек разрыва производная y¢ не имеет;

Найдем точки, в которых y¢ = 0

Точка, в которой y¢ = 0 одна и она делит область определения функции на следующие промежутки: (– ∞,5) И (5 ,+ ∞), в каждом из которых y¢ сохраняет постоянный знак. Подставим в эти промежутки конкретные значения функции и определим знак y¢ на указанных промежутках, тогда:

на промежутке (– ∞,5] y¢ > 0,

Точки максимума и минимума функции называются точками ее экстремума.

Точка экстремума могут служить только критические точки 1-го рода., т.е. точки принадлежащие области определения функции в которых f ¤ (x) = 0 или терпит разрыв.

Точками экстремума являются лишь те из критических точек, при переходе через которые первая производная меняет знак. А именно:

Если при переходе через критическую точку x в положительном направлении f ¤ (x) меняет знак с + на – , то точка x есть точка максимума, если при переходе через критическую точку x в положительном направлении f ¤ (x) меняет знак с – на + , то точка x есть точка минимума.

Пример:

Исследовать функцию на монотонность, найти экстремумы функции.

У = х 3 –6х 2 + 9х

Данная функция определена на всей числовой оси., т.е. D(y) = R

Найдем f ¤ (x). y¢ = 3 х 2 –12х +9

Точек разрыва производная y¢ не имеет;

Найдем точки, в которых y¢ = 0

3 х 2 –12х +9 =0 Найдем корни этого уравнения

y¢ обращается в 0 при х₁ = 1, х₂ = 3,

Точки, в которой y¢ = 0 делят область определения функции на следующие промежутки:

(– ∞,1), [1,3] И (3 ,+ ∞), в каждом из которых y¢ сохраняет постоянный знак. Подставим в эти промежутки конкретные значения функции и определим знак y¢ на указанных промежутках, тогда:

на промежутке (– ∞,1] y¢ > 0,

на промежутке [1,3] y¢ 0,

Следовательно на промежутках (– ∞,1]и[3 ,+ ∞) функция возрастает, а на промежутке [1,3]функция убывает.

Точка х=1 является точкой максимума функции. Точка х=3 является точкой минимума функции.

Найдем значения у_мах и у_мin функции. Для этого подставим в формулу функции значения х=3 и х=1