No Image

Как определить проекцию вектора скорости на ось

СОДЕРЖАНИЕ
7 просмотров
11 марта 2020

В векторной форме уравнения записываются легко и кратко. Но для практических вычислений нужно знать проекции вектора на оси координат выбранной системы отсчета. Положение точки А (рис. 2.8) задается радиус-вектором г . Спроецируем вектор г на оси х,у, z.

Рис. 2.8. Вектор перемещения точки А и её скорость 1)

Понятно, что х, у9 z зависят от времени t, т. е. *(/), y(t), z(t). Зная зависимость этих координат от времени (закон движения точки), можно найти в каждый момент времени скорость точки.

Проекции вектора скорости и на оси x,y9z в обозначениях Лейбница:

Эти три равенства эквивалентны векторному равенству и = —.

Согласно общей формуле (2.2.2) модуль вектора скорости

Так как скорость – величина векторная, то её можно представить с помощью единичных векторов i, j, k :

В произвольном случае движения скорость нс остается постоянной. Быстрота изменения скорости по времени и направлению характеризуется ускорением

Ускорение – величина векторная. При криволинейном движении и изменяется также и по направлению. В какую сторону? С какой скоростью? Выражение (2.3.8) на эти вопросы не отвечает.

Введем единичный вектор т (рис. 2.9), связанный с точкой А и направленный по касательной к траектории движения точки А (векторы т и и в точке А совпадают). Тогда можно записать:

где о = |о| – модуль вектора скорости.

Рис. 2.9. К выводу тангенциальной составляющей ускорение: единичный вектор х направлен по касательной к траектории

Найдем ускорение:

Получаем два слагаемых ускорения: aхтангенциальное ускоре-

пие, совпадающее с направлением о в данной точке, апнормальное ускорение, или центростремительное, т. к. направлено оно к центру кривизны, перпендикулярно вектору т .

где do/dt – скорость изменения модуля вектора скорости о.

Итак, az показывает изменение вектора скорости по величине:

  • • если do/d/ > 0, то аг направлено в ту же сторону, что и вектор о, т. е. ускоренное движение;
  • • если do/d/ 0), центры кривизны О и О’ сливаются и угол поворота Д d dx d r dx i) 2 r

Tогда — = —, следовательно — = — n ; наконец, и — = — n , т. с.

Нормальное ускорение показывает быстроту изменения направления вектора скорости. Модуль нормального ускорения

Центростремительным называют ускорение, когда движение происходит по окружности. А когда движение происходит по произвольной кривой, говорят, нормальное ускорение, перпендикулярное к касательной в любой точке траектории.

Итак, возвращаясь к выражению (2.3.9), можно записать, что суммарный вектор ускорения при движении точки вдоль плоской кривой равен:

На рис. 2.11 изображено взаимное расположение векторов ускорения:

Рис. 2.11. Суммарное ускорение, нормальная и тангенциальная составляющие ускорения

Как видно из этого рисунка, модуль общего ускорения равен:

Рассмотрим несколько предельных (частных) случаев:

  • аТ = 0; ап = 0 – равномерное прямолинейное движение;
  • ах = const п = 0 – равноускоренное прямолинейное движение;
  • ах 0; ап = const – равномерное движение по окружности.

Прямая задача кинематики сводится к определению кинематических характеристик по известному закону движения.

При движении с постоянным ускорением (а = const)

Если и = о ± at (а = const), то

Обратная задача кинематики заключается в нахождении закона движения по известной скорости (ускорению) и начальному кинематическому состоянию.

Пусть нам известно ускорение точки в каждый момент времени.

07.06.2019

5 июня Что порешать по физике

30 мая Решения вчерашних ЕГЭ по математике

3.1. Равнопеременное движение по прямой.

3.1.1. Равнопеременное движение по прямой — движение по прямой с постоянным по модулю и направлению ускорением:

3.1.2. Ускорение () — физическая векторная величина, показывающая, на сколько изменится скорость за 1 с.

В векторном виде:

где — начальная скорость тела, — скорость тела в момент времени t.

В проекции на ось Ox:

где — проекция начальной скорости на ось Ox, — проекция скорости тела на ось Ox в момент времени t.

Знаки проекций зависят от направления векторов и оси Ox.

3.1.3. График проекции ускорения от времени.

При равнопеременном движении ускорение постоянно, поэтому будет представлять собой прямые линии, параллельные оси времени (см. рис.):

Значение ускорения: чем дальше от оси времени лежит прямая, тем больше модуль ускорения

3.1.4. Скорость при равнопеременном движении.

В векторном виде:

В проекции на ось Ox:

Для равноускоренного движения:

Для равнозамедленного движения:

3.1.5. График проекции скорости в зависимости от времени.

График проекции скорости от времени — прямая линия.

Направление движения: если график (или часть его) находятся над осью времени, то тело движется в положительном направлении оси Ox.

Читайте также:  Промокод на никс косметика

Значение ускорения: чем больше тангенс угла наклона (чем круче поднимается вверх или опускает вниз), тем больше модуль ускорения; где — изменение скорости за время

Пересечение с осью времени: если график пересекает ось времени, то до точки пересечения тело тормозило (равнозамедленное движение), а после точки пересечения начало разгоняться в противоположную сторону (равноускоренное движение).

3.1.6. Геометрический смысл площади под графиком в осях

Площадь под графиком, когда на оси Oy отложена скорость, а на оси Ox — время — это путь, пройденный телом.

На рис. 3.5 нарисован случай равноускоренного движения. Путь в данном случае будет равен площади трапеции:

(3.9)

3.1.7. Формулы для расчета пути

(3.10)

(3.12)

(3.11)

(3.13)

(3.14)

Все формулы, представленные в таблице, работают только при сохранении направления движения, то есть до пересечения прямой с осью времени на графике зависимости проекции скорости от времени.

Если же пересечение произошло, то движение проще разбить на два этапа:

до пересечения (торможение):

После пересечения (разгон, движение в обратную сторону)

В формулах выше — время от начала движения до пересечения с осью времени (время до остановки), — путь, который прошло тело от начала движения до пересечения с осью времени, — время, прошедшее с момента пересечения оси времени до данного момента t, — путь, который прошло тело в обратном направлении за время, прошедшее с момента пересечения оси времени до данного момента t, — модуль вектора перемещения за все время движения, L — путь, пройденный телом за все время движения.

3.1.8. Перемещение за -ую секунду.

За время тело пройдет путь:

За время тело пройдет путь:

Тогда за -ый промежуток тело пройдет путь:

За промежуток можно принимать любой отрезок времени. Чаще всего с.

Если то

Тогда за 1-ую секунду тело проходит путь:

Если внимательно посмотрим, то увидим, что и т. д.

Таким образом, приходим к формуле:

Словами: пути, проходимые телом за последовательные промежутки времени соотносятся между собой как ряд нечетных чисел, и это не зависит от того, с каким ускорением движется тело. Подчеркнем, что это соотношение справедливо при

3.1.9. Уравнение координаты тела при равнопеременном движении

Знаки проекций начальной скорости и ускорения зависят от взаимного расположения соответствующих векторов и оси Ox.

Для решения задач к уравнению необходимо добавлять уравнение изменения проекции скорости на ось:

3.2. Графики кинематических величин при прямолинейном движении

3.3. Свободное падение тела

Под свободным падением подразумевается следующая физическая модель:

1) Падение происходит под действием силы тяжести:

2) Сопротивление воздуха отсутствует (в задачах иногда пишут «сопротивлением воздуха пренебречь»);

3) Все тела, независимо от массы падают с одинаковым ускорением (иногда добавляют — «независимо от формы тела», но мы рассматриваем движение только материальной точки, поэтому форма тела уже не учитывается);

4) Ускорение свободного падения направлено строго вниз и на поверхности Земли равно (в задачах часто принимаем для удобства подсчетов);

3.3.1. Уравнения движения в проекции на ось Oy

В отличии от движения по горизонтальной прямой, когда далеко не всех задач происходит смена направления движения, при свободном падении лучше всего сразу пользоваться уравнениями, записанными в проекциях на ось Oy.

Уравнение координаты тела:

Уравнение проекции скорости:

Как правило, в задачах удобно выбрать ось Oy следующим образом:

Ось Oy направлена вертикально вверх;

Начало координат совпадает с уровнем Земли или самой нижней точкой траектории.

При таком выборе уравнения и перепишутся в следующем виде:

3.4. Движение в плоскости Oxy.

Мы рассмотрели движение тела с ускорением вдоль прямой. Однако этим равнопеременное движение не ограничивается. Например, тело, брошенное под углом к горизонту. В таких задачах необходимо учитывать движение сразу по двум осям:

Или в векторном виде:

И изменение проекции скорости на обе оси:

3.5. Применение понятия производной и интеграла

Мы не будем приводить здесь подробное определение производной и интеграла. Для решения задач нам понадобятся лишь небольшой набор формул.

где A, B и то есть постоянные величины.

Теперь посмотрим, как понятие производной и интеграла применимо к физическим величинам. В математике производная обозначается «’», в физике производная по времени обозначается «∙» над функцией.

то есть скорость является производной от радиус-вектора.

Для проекции скорости:

то есть ускорение является производной от скорости.

Для проекции ускорения:

Читайте также:  Лучший редактор видео для айфон

Таким образом, если известен закон движения то легко можем найти и скорость и ускорение тела.

Теперь воспользуемся понятием интеграла.

то есть, скорость можно найти как интеграл по времени от ускорения.

то есть, радиус-вектор можно найти, взяв интеграл от функции скорости.

Таким образом, если известна функция то легко можем найти и скорость, и закон движения тела.

Константы в формулах определяются из начальных условий — значения и в момент времени

3.6. Треугольник скоростей и треугольник перемещений

3.6.1. Треугольник скоростей

В векторном виде при постоянном ускорении закон изменения скорости имеет вид (3.5):

Эта формула означает, что вектор равен векторной сумме векторов и Векторную сумму всегда можно изобразить на рисунке (см. рис.).

В каждой задаче, в зависимости от условий, треугольник скоростей будет иметь свой вид. Такое представление позволяет использовать при решении геометрические соображения, что часто упрощает решение задачи.

3.6.2. Треугольник перемещений

В векторном виде закон движения при постоянном ускорении имеет вид:

При решении задачи можно выбирать систему отсчета наиболее удобным образом, поэтому не теряя общности, можем выбрать систему отсчета так, что то есть начало системы координат помещаем в точку, где в начальный момент находится тело. Тогда

то есть вектор равен векторной сумме векторов и Изобразим на рисунке (см. рис.).

Как и в предыдущем случае в зависимости от условий треугольник перемещений будет иметь свой вид. Такое представление позволяет использовать при решении геометрические соображения, что часто упрощает решение задачи.

Этот видеоурок доступен по абонементу

У вас уже есть абонемент? Войти

На этом уроке мы продолжим изучение одного из разделов механики – кинематики. Рассмотрим прямоугольную систему координат, вектор перемещения и радиус-вектор. Также узнаем, что законы изменения координат от времени позволят решить главную задачу механики, необходимо только уметь записывать этот закон для различных видов движения.

Пространство и время. Координаты

Все события в нашей жизни происходят в пространстве и с течением времени, поэтому необходимо научиться описывать пространство и время, то есть отвечать на вопросы «где?» и «когда?».

Представьте себе, что вы совершаете кругосветное плавание. Вам необходимо указать свое местоположение для того, чтобы можно было доставить вам запасы провизии и воды. Географы давно ввели понятия широты и долготы. Данные переменные однозначно определят ваше положение (рис. 1).

Рис. 1. Широта и долгота

Для того чтобы ответить на вопрос «где?», ученые ввели термин «система координат», то есть некие независимые переменные, которые однозначно задают положение тела.

Наше пространство трехмерное, то есть через любую точку можно провести три взаимно перпендикулярные прямые (рис. 2). Это легло в основу самой распространенной системы координат – прямоугольной (декартовой).

Рис. 2. В трехмерном пространстве через любую точку можно провести три взаимно перпендикулярные прямые

Можно выбрать три взаимно перпендикулярных оси (декартова система координат), связав начало координат с телом отсчета. В такой системе отсчета положение точки (M) будут характеризовать три числа, которые называются декартовыми координатами. Для их нахождения необходимо опустить перпендикуляры из точки на три оси (OX, OY, OZ).

Рис. 3. Определение координат точки

Координаты также можно определить, если опустить из точки M на плоскость XOY перпендикуляр, а затем из точки провести перпендикуляр к оси OX, таким образом, получаем координату x (рис. 4). Аналогично находим две другие координаты точки.

Рис. 4. Определение координат (второй способ)

В физике, в математике и в повседневной жизни используются и другие системы координат. Например, для определения местоположения на глобусе (земном шаре) используются географические координаты (широта и долгота), которые являются производной от сферической системы координат (рис. 5). В некоторых задачах по физике и математике удобно использовать цилиндрические системы координат (рис. 6).

Рис. 5. Сферическая система координат

Рис. 6. Цилиндрическая система координат

При решении задач выбирается та система, которая является более удобной для того или иного случая. Декартовую систему координат удобнее выбирать в большинстве случаев. Например, характеристика положения парты, за которой вы сидите (рис. 7).

Рис. 7. С помощью декартовой системы удобно описывать положение парты, за которой вы сидите

Для того чтобы ответить на вопрос «когда?», то есть охарактеризовать время события, необходимо задать одну независимую величину – временную координату. Ее мы используем, когда говорим, что какое-либо событие произошло в 1861 году или, например, что спортсмен пробежал дистанцию за 10,5 секунды (в качестве начала отсчета выбираем стартовый сигнал пистолета).

Читайте также:  Сравнение чисел с периодом

Следовательно, для полного ответа на вопрос «где?» и «когда?» необходимо задать четыре независимые величины – координаты x, y, z и t (время).

Можно обойтись и меньшим количеством переменных. Рассматривая движение тела по поверхности стола, не имеет смысла вводить переменную z, так как по высоте ничего не меняется. В этом случае мы сталкиваемся с двумерным движением, поэтому для описания точки М достаточно координат х и у (рис. 8), а также временной координаты t.

Рис. 8. Двумерное движение (пример № 1)

Если рассматривать плоское движение тела, например движение водомерки по поверхности воды, то удобно выбрать оси OX и OY именно в этой плоскости, а ось OZ перпендикулярно ей (рис. 9). Эта ось не пригодится, так как координата z будет равна нулю. Такое движение называетсядвумерным.

Рис. 9. Двумерное движение (пример № 2)

Если тело движется вдоль одной прямой, то достаточно только координаты x для описания изменения его положения в пространстве с течением времени (движение автомобиля по прямой дороге, движение муравья по туго натянутой гитарной струне) – одномерное движение.

Рис. 10. Примеры одномерного движения

Следовательно, если найти зависимости координат от времени, то есть законы , то можно решить главную задачу механики – определить положение тела (координату) в любой момент времени.

Вектор перемещения

Зная координаты и путь, не всегда можно определить местоположение тела через некоторое время. Представьте, что водитель такси сообщает диспетчеру, что за сегодняшний день он проехал 100 км. Может ли диспетчер однозначно определить, где находится водитель в данный момент времени? Нет, так как вариантов его движения очень много (рис. 11).

Рис. 11. Движение таксиста

Во всех трех случаях путь равен 100 км, но тело находится в итоге в различных точках. Не зная точно траектории, а зная лишь путь, решить главную задачу механики невозможно.

Чтобы определить точное положение тела, необходимо знать длину и направление отрезка, соединяющего начальное положение тела с последующим. Такой направленный отрезок называют перемещением () (рис. 12).

Рис. 12. Вектор перемещения

Перемещением тела (материальной точки) называют вектор, проведенный из начального положения тела в его положение в данный момент времени. Длину направленного отрезка S называют модулем перемещения.

Радиус-вектор

В физике также пользуются радиус-вектором, который характеризует положение тела и удобен для описания движения тела.

Радиус-вектор () материальной точки проводят из начала координат к положению точки в данный момент (рис. 13). При движении точки радиус-вектор изменяется, и в определенный момент времени он будет равен:

,

где

Рис. 13. Радиус-вектор материальной точки

Из рисунка 13 видно, что проекции радиус-вектора на оси координат равны координатам материальной точки. При этом:

То есть проекция вектора перемещения на ось координат равна изменению соответствующей координаты тела. Следовательно, конечные координаты тела будут равны:

Итоги урока

Для того чтобы ответить на главную задачу механики, необходимо записать законы изменения координат от времени. Для записи этого закона следует, помимо начальной координаты тела, знать и его перемещение (проекции перемещения на соответствующие оси). Так как существуют различные виды движения (рис. 14), необходимо научиться записывать законы движения для каждого из них.

Рис. 14. Виды движения

  1. Г.Я. Мякишев, Б.Б. Буховцев, Н.Н. Сотский. Физика 10. – М.: Просвещение, 2008.
  2. А.П. Рымкевич. Физика. Задачник 10–11. – М.: Дрофа, 2006.
  3. О.Я. Савченко. Задачи по физике. – М.: Наука, 1988.
  4. А.В. Перышкин, В.В. Крауклис. Курс физики. Т. 1. – М.: Гос. уч.-пед. изд. мин. просвещения РСФСР, 1957.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

  1. Интернет-портал Nika-fizika.narod.ru (Источник).
  2. Интернет-портал Web-local.rudn.ru (Источник).
  3. Интернет-портал Clck.ru (Источник).
  1. Вопросы (3–5) в конце параграфа 4 (стр. 13); вопросы в конце параграфа 6 (стр. 17) – Г.Я. Мякишев, Б.Б. Буховцев, Н.Н. Сотский. Физика 10 (см. список рекомендованной литературы)
  2. Точка движется прямолинейно и проходит от начала отсчета путь S = 10 м. Затем она поворачивает на 180° и возвращается в начало отсчета. Найти путь и модуль вектора перемещения за все время движения.
  3. Самолет летит с юга на север и пролетает 400 км, затем поворачивает на 90° и пролетает еще 300 км. Найти путь и модуль вектора перемещения за все время движения.

Если вы нашли ошибку или неработающую ссылку, пожалуйста, сообщите нам – сделайте свой вклад в развитие проекта.

Комментировать
7 просмотров
Комментариев нет, будьте первым кто его оставит

Это интересно
No Image Компьютеры
0 комментариев
No Image Компьютеры
0 комментариев
No Image Компьютеры
0 комментариев
No Image Компьютеры
0 комментариев
Adblock detector