Как построить правильный треугольник в окружности

Смотрите видео

Построение различных треугольников – обязательный элемент школьного курса геометрии. У многих это задание вызывает страх. Но на самом деле, все довольно просто. Далее в статье описано, как начертить треугольник любого типа с помощью циркуля и линейки.

• разносторонние;
• равнобедренные;
• равносторонние;
• прямоугольные;
• тупоугольные;
• остроугольные;
• вписанные в окружность;
• описанные вокруг окружности.

Построение равностороннего треугольника

Равносторонним называется треугольник, у которого все стороны равны. Из всех видов треугольников, начертить равносторонний проще всего.

1. С помощью линейки начертите одну из сторон, заданной длины.
2. Измерьте ее длину с помощью циркуля.
3. Поместите острие циркуля в один из концов отрезка и проведите окружность.
4. Переставьте острие в другой конец отрезка и проведите окружность.
5. У нас получилось 2 точки пересечения окружностей. Соединяя любую из них с краями отрезка, мы получаем равносторонний треугольник.

Построение равнобедренного треугольника

Данный тип треугольников можно построить по основанию и боковым сторонам.

Равнобедренным называется треугольник, у которого две стороны равны. Для того чтобы начертить равнобедренный треугольник по данным параметрам, необходимо выполнить следующие действия:

1. С помощью линейки откладываем отрезок, равный по длине основанию. Обозначаем его буквами АС.
2. Циркулем измеряем необходимую длину боковой стороны.
3. Рисуем из точки А, а затем из точки С, окружности, радиус которых равен длине боковой стороны.
4. Получаем две точки пересечения. Соединив одну из них с точками А и С, получаем необходимый треугольник.

Построение прямоугольного треугольника

Треугольник, у которого один угол прямой, называют прямоугольным. Если нам даны катет и гипотенуза, начертить прямоугольный треугольник не составит труда. Его можно построить по катету и гипотенузе.

1. С помощью линейки чертим гипотенузу заданной длины. Назовем этот отрезок АВ.
2. Ставим острие циркуля в точку А и проводим полуокружность, радиус которой немного больше, чем половина отрезка.
3. Переставляем острие циркуля в точку В и проводим аналогичное действие. Наши дуги пересекаются в двух места. Соединяем эти точки. Точка пересечения данной линии и отрезка АВ – его середина, точка О.
4. С помощью циркуля рисуем окружность, центр которой находится в точке О, а радиус равен отрезку АО.
5. Из точки А проводим циркулем дугу, радиус которой равен заданному катету. Точка пересечения дуги и окружности – искомая третья вершина треугольника. Соединяем ее с точками А и В. Задача выполнена.

Построение тупоугольного треугольника по углу и двум прилегающим сторонам

Если один из углов треугольника тупой (больше 90 градусов), его называют тупоугольным. Чтобы начертить по указанным параметрам тупоугольный треугольник необходимо сделать следующее:

1. С помощью линейки откладываем отрезок, равный по длине одной из сторон треугольника. Обозначим его буквами А и D.
2. Если в задании уже нарисован угол, и вам необходимо начертить такой же, то на его изображении отложить два отрезка, оба конца которых лежат в вершине угла, а длина равняется указанным сторонам. Соедините полученные точки. У нас получился искомый треугольник.
3. Чтобы его перенести на свой чертеж, вам необходимо измерить длину третьей стороны.

Построение остроугольного треугольника

Остроугольный треугольник (все углы меньше 90 градусов) строится по тому же принципу.

1. Нарисуйте две окружности. Центр одной из них лежит в точке D, а радиус равен длине третьей стороны, а у второй центр находится в точке А, а радиус равен длине указанной в задании стороны.
2. Соедините одну из точек пересечения окружности с точками А и D. Искомый треугольник построен.

Вписанный треугольник

Для того чтобы начертить треугольник в окружности, нужно помнить теорему, в которой говорится, что центр описанной окружности лежит на пересечении серединных перпендикуляров:

1. Циркулем проводим две окружности, центры которых лежат на разных концах отрезка одной из сторон, а радиусы (одинаковые) немного больше половины его длины. Соединяем точки пересечения окружностей. Это и будет нашим серединным перпендикуляром.
2. Строим два серединных перпендикуляра к двум любым сторонам. Точка пересечения (назовем ее О) – центр искомой описанной окружности. Согласно аксиоме, у двух прямых может быть только одна точка пересечения, поэтому нет надобности чертить все три перпендикуляра.
3. Измеряем циркулем расстояние от точки О до любой из вершин треугольника и рисуем окружность. Задание выполнено.

У тупоугольного треугольника центр описанной окружности лежит за пределами треугольника, а у прямоугольного – на середине гипотенузы.

Чертим описанный треугольник

Описанный треугольник – это треугольник, в центре которого нарисована окружность, касающаяся всех его сторон. Центр вписанной окружности лежит на пересечении биссектрис. Для их построения необходимо:

1. Произвольным радиусом чертим дугу, центр которой одна из вершин треугольника. Точки пересечения дуги со сторонами назовем Р и М.
2. Тем же радиусом рисуем еще две дуги, с центрами в точках Р и М. Соединяем точку их пересечения с исходной вершиной. Биссектриса построена.
3. Чертим 2 биссектрисы. Точка их пересечения (обозначим ее О) – центр нашей будущей окружности.
4. Для того, чтобы определить радиус окружности, необходимо построить перпендикуляр из точки О на любую из сторон.
5. Произвольным радиусом рисуем дугу с центром в точке О так, чтобы она пересекала выбранную сторону (пускай это будет сторона АС) в двух местах.
6. Радиусом АО рисуем две окружности, с центрами в точках А и С. Соединяем места пересечения окружностей. Точка пересечения этой линии и стороны АС (обозначим ее Е) – искомый перпендикуляр.
7. Измеряем циркулем отрезок ЕО и чертим вписанную окружность.
8. Таким образом вы сможете начертить описанный треугольник.

Пятиугольник
Правильный пятиугольник
Тип	Правильный многоугольник
Рёбра	5
Символ Шлефли
Диаграмма Коксетера — Дынкина
Вид симметрии	Диэдрическая группа (D5)
Площадь	t 2 25 + 10 5 4 = <displaystyle <frac <2><sqrt <25+10<sqrt <5>>>>><4>>=> 5 R 2 4 5 + 5 2 ; <displaystyle <frac <5R^<2>><4>><sqrt <frac <5+<sqrt <5>>><2>>>;>
Внутренний угол	108°
Свойства
выпуклый, вписанный, Равносторонний, равноугольный [en] , изотоксальный
Медиафайлы на Викискладе

Правильный пятиугольник (или пентагон от греч. πενταγωνον ) — геометрическая фигура, правильный многоугольник с пятью сторонами.

Содержание

Свойства [ править | править код ]

• У правильного пятиугольника угол равен

α = ( n − 2 ) n ⋅ 180 ∘ = 3 5 ⋅ 180 ∘ = 108 ∘ <displaystyle alpha =<frac <(n-2)>>cdot 180^<circ >=<frac <3><5>>cdot 180^<circ >=108^<circ >>

• Площадь правильного пятиугольника рассчитывается по любой из формул:

S = 5 4 t 2 c t g π 5 = 5 5 + 2 5 4 t 2 = 5 12 R d = 5 2 R 2 sin ⁡ 2 π 5 = 5 r 2 t g π 5 <displaystyle S=<frac <5><4>>t^<2>mathop <mathrm > ,<frac <pi ><5>>=<frac <<sqrt <5>><sqrt <5+2<sqrt <5>>>>><4>>t^<2>=<frac <5><12>>Rd=<frac <5><2>>R^<2>sin <frac <2pi ><5>>=5r^<2>mathop <mathrm > ,<frac <pi ><5>>>, где R <displaystyle R>— радиус описанной окружности, r <displaystyle r>— радиус вписанной окружности, d <displaystyle d>— диагональ, t <displaystyle t>— сторона.

• Высота правильного пятиугольника:

h = tg 72 ∘ 2 t = 5 + 2 5 2 t ≈ 1,539 t <displaystyle h=<frac <operatorname ,72^<circ >><2>>t=<frac <sqrt <5+2<sqrt <5>>>><2>>tapprox 1<,>539t>

• Диагонали правильного пятиугольника являются трисектрисами его внутренних углов.
• Отношение диагонали правильного пятиугольника к стороне равно золотому сечению, то есть числу 1 + 5 2 <displaystyle <frac <1+<sqrt <5>>><2>>>.

Поэтому радиус вписанной окружности, радиус описанной окружности, высоту и площадь правильного пятиугольника можно вычислить и без использования тригонометрических функций:

R>

• Радиус вписанной окружности:

r = 5 5 + 2 5 10 t ≈ 0,688 191 t <displaystyle r=<frac <<sqrt <5>><sqrt <5+2<sqrt <5>>>>><10>>tapprox 0<,>688191

t>

• Радиус описанной окружности:

R = 1 0 5 + 5 10 t = ( 5 − 1 ) r ≈ 0,850 651 t ≈ 1,236 07 r <displaystyle R=<frac <<sqrt <1>>0<sqrt <5+<sqrt <5>>>>><10>>t=(<sqrt <5>>-1)

r>

• Диагональ:

d = Φ 5 R = 5 + 1 2 t ≈ 1,902 R ≈ 1,618 t <displaystyle d=<sqrt <Phi <sqrt <5>>>>R=<frac <<sqrt <5>>+1><2>>tapprox 1<,>902

t>

• Площадь:

S = 5 5 + 2 5 4 t 2 ≈ 1,720 48 t 2 <displaystyle S=<frac <<sqrt <5>><sqrt <5+2<sqrt <5>>>>><4>>t^<2>approx 1<,>72048

t^<2>>

• Правильным пятиугольником невозможно заполнить плоскость без промежутков (см. также Паркет)
• Отношение площадей правильного пятиугольника и другого правильного пятиугольника, образованного пересечением диагоналей исходного (середина пятиугольной звезды)

S s = Φ 4 = 3 Φ + 2 = 3 5 + 7 2 ≈ 6,854 1 <displaystyle <frac >=Phi ^<4>=3Phi +2=<frac <3<sqrt <5>>+7><2>>approx 6<,>8541>где Φ <displaystyle Phi >— отношение золотого сечения.

Построение [ править | править код ]

Правильный пятиугольник может быть построен с помощью циркуля и линейки или вписыванием его в заданную окружность, или построением на основе заданной стороны. Этот процесс описан Евклидом в его «Началах» около 300 года до н. э.

Вот один из методов построения правильного пятиугольника в заданной окружности:

1. Постройте окружность, в которую будет вписан пятиугольник, и обозначьте её центр как O. (Это зелёная окружность на схеме справа).
2. Выберите на окружности точку A, которая будет одной из вершин пятиугольника. Постройте прямую через O и A.
3. Постройте прямую перпендикулярно прямой OA, проходящую через точку O. Обозначьте одно её пересечение с окружностью как точку B.
4. Постройте точку C посередине между O и B.
5. Проведите окружность с центром в точке C через точку A. Обозначьте её пересечение с прямой OB (внутри первоначальной окружности) как точку D.
6. Проведите окружность с центром в A через точку D, пересечение данной окружности с оригинальной (зелёной окружностью) обозначьте как точки E и F.
7. Проведите окружность с центром в E через точку A. Обозначьте её другое пересечение с первоначальной окружностью как точку G.
8. Проведите окружность с центром в F через точку A. Обозначьте её другое пересечение с первоначальной окружностью как точку H.
9. Постройте правильный пятиугольник AEGHF.

Получение с помощью полоски бумаги [ править | править код ]

Правильный пятиугольник можно получить, завязав узлом полоску бумаги.

В природе [ править | править код ]

Исследования формирования водяного льда на ровной поверхности меди при температурах 100—140 K показали, что сначала на поверхности возникают цепочки молекул шириной около 1 нм не гексагональной, а пентагональной структуры. [1] Пентасимметрию можно увидеть во многих цветах и некоторых фруктах, например в таких как эта мушмула германская.

Иглокожие, например морские звёзды, обладают пентасимметрией.

Пентасимметрию можно увидеть во многих цветах и некоторых фруктах, например в таких как мушмула германская.

Этот видеоурок доступен по абонементу

У вас уже есть абонемент? Войти

Тема этого видеоурока – «Построение правильных многоугольников». На данном занятии мы рассмотрим способы построения правильных многоугольников с помощью циркуля и линейки. Также еще раз дадим определение правильному многоугольнику, изобразим его графически, после чего еще раз убедимся, что центры вписанной и описанной окружностей вокруг такой фигуры будут совпадать.

Тема: Длина окружности и площадь круга

Урок: Построение правильных многоугольников

1. Введение

По традиции, напомним здесь основное определение: выпуклый многоугольник называется правильным, если все его стороны равны и все его углы равны (Рис. 1.) .

В этот многоугольник всегда можно вписать окружность и около него всегда можно описать окружность. Центры обеих окружностей совпадают (точка О на Рис. 1). Также на рисунке приведены радиусы описанной (R ) и вписанной (r) окружностей.

В ходе предыдущих уроков мы выяснили, что базовую роль для описания свойств многоугольников играют биссектрисы его углов и серединные перпендикуляры к его сторонам. Именно на умении строить биссектрисы углов и серединные перпендикуляры отрезков и основывается методика построения правильных многоугольников. Вкратце напомним, как построить серединный перпендикуляр отрезка.

Дан отрезок АВ (Рис. 2). Необходимо построить его серединный перпендикуляр.

1. Проведем окружность с центром в точке А произвольного радиуса R (на рис 2. изображены только фрагменты этой окружности);

2. Аналогично проведем окружность с центром в точке В того же радиуса (Рис. 2);

3. Точки M и N пересечения построенных окружностей соединяем отрезком;

4. Этот отрезок MN и будет серединным перпендикуляром отрезка АВ. Докажем это утверждение. Треугольники MNB и MNA равны по трем сторонам, откуда следует равенство углов при вершине М. Треугольники АNB и MВA также равны по трем сторонам, кроме того, все указанные треугольники – равнобедренные. МН – биссектриса ∆MВA, а следовательно, она же является и высотой, и медианой данного треугольника. Аналогичные рассуждения проводятся и для отрезка NH. Таким образом, получаем, что MN ^ АВ и делит его пополам. Что и требовалось доказать.

Умение строить серединный перпендикуляр отрезка позволяет решать многие задачи. Вот пример одной из них: построить квадрат, если дана его диагональ d (Рис. 3.).

1. На произвольной прямой откладываем отрезок АВ, равный d.

2. По указанному выше алгоритму строим для отрезка АВ серединный перпендикуляр р (Рис. 3).

3. Находим точку М пересечения серединного перпендикуляра с отрезком. Из этой точки на прямой р откладываем отрезки MC = MD = МА.

4. Соединяем точки А, В, С, D отрезками, как показано на Рис. 3.

5. В результате получаем квадрат с диагоналями АВ и СD.

Напомним и еще одно важное построение – построение биссектрисы угла.

Пусть дан угол ÐО (Рис. 4). Необходимо построить его биссектрису.

1. Проводим окружность с центром в точке О некоторого радиуса R. На Рис. 4 эта окружность показана фрагментарно.

2. Находим точки А и В пересечения этой окружности со сторонами ÐО.

3. Строим окружность с центром в точке А некоторого радиуса (Рис. 4).

4. Аналогично строим окружность с центром в точке В и того же радиуса .

5. Находим точку L пересечения этих окружностей .

6. Соединяем точки L и О отрезком.

7. Полученный отрезок LО – биссектриса угла (это утверждение легко доказывается при учете равенства треугольников ОLА и ОLВ).

Важнейшим из правильных многоугольников является равносторонний треугольник.

Задача: построить правильный треугольник АВС, сторона которого равна а.

Построение (Рис. 5):

1. На произвольной прямой выбираем точку А и при помощи линейки откладываем на этой прямой отрезок АС = а.

2. Строим две окружности одинакового радиуса а – с центром в точке А и с центром в точке С (на Рис. 5 фрагменты окружностей показаны пунктиром). Для этого ножки циркуля с помощью линейки разводим на нужное расстояние.

3. Находим точку В пересечения этих окружностей и соединяем ее с точками А и С.

4. Получили искомый правильный треугольник АВС. Задача решена.

Рассмотрим алгоритм построения правильного шестиугольника.

Задача: построить правильный шестиугольник со стороной а₆ .

Построение (Рис. 6):

1. Для начала вспомним доказанное на предыдущих уроках свойство шестиугольника: длина его стороны равна радиусу описанной окружности: .

2. Построим окружность с центром в произвольной точке О и радиусом .

Угол между ножками циркуля не меняем.

3. Поместив одну ножку циркуля в произвольную точки А₁ на окружности, при помощи второй ножки отметим на той же окружности точку А₂ и соединим ее с точкой А₁. Получим первую сторону шестиугольника.

4. Повторив те же действия еще 4 раза, получим остальные вершины искомой фигуры.

5. В результате получим A₁ … А₆ – правильный шестиугольник с центром в точке О.

Следующая задача демонстрирует важный прием, необходимый при построении правильных многоугольников.

Удвоение числа сторон правильного многоугольника.

Дан правильный n-угольник А_{1 …} А_n (Рис. 7). Построить правильный 2n-угольник А₁ В₁ А₂ В_{2 …} А_nВ_n, т. е. правильный многоугольник с числом сторон вдвое большим, чем у исходного.

1. Восстановим серединные перпендикуляры к двум соседним сторонам исходного многоугольника и найдем точку О их пересечения (показаны пунктиром на Рис. 7).

2. Проведем окружность с центром в точке О и радиусом, равным ОА₁. Данная окружность пройдет через все вершины многоугольника, т. к. является описанной около него.

3. При помощи серединных перпендикуляров к сторонам многоугольника, опущенным из точки О, разделим все его стороны и все дуги окружности, заключенные между его соседними вершинами, пополам. Для этого достаточно просто опустить перпендикуляры из центра окружности на стороны и продлить их до пересечения с окружностью.

4. Точки В₁, В₂, … В_n пересечения серединных перпендикуляров с окружностью соединить с вершинами многоугольника А_{1 …} А_n отрезками, как показано на Рис. 7.

5. Полученная фигура и будет искомым правильным многоугольником, число сторон которого вдвое больше числа сторон исходного многоугольника.

На данном уроке было рассмотрено построение правильного многоугольника при помощи циркуля и линейки. Важно заметить, что не все правильные многоугольники могут быть построены таким образом.

Доказано, что так нельзя построить, например, правильный 7-угольник, а вот правильный 17-угольник можно построить этим способом.

Список рекомендованной литературы

1. Атанасян Л. С. и др. Геометрия 7 – 9 классы. Учебник для общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 2010.

2. Фарков А. В. Тесты по геометрии: 9 класс. К учебнику Л. С. Атанасяна и др. – М.: Экзамен, 2010.

3. Погорелов А. В. Геометрия, уч. для 7 – 11 кл. общеобр. учрежд. – М.: Просвещение, 1995.

Рекомендованные ссылки на интернет-ресурсы

2. Средняя математическая интернет-школа (Источник).

Рекомендованное домашнее задание

1. Учебник Погорелова (см. список литературы), стр. 211, контрольный вопрос № 12.

2. Учебник Погорелова (см. список литературы), стр. 212, задачи 14, 15.

Если вы нашли ошибку или неработающую ссылку, пожалуйста, сообщите нам – сделайте свой вклад в развитие проекта.