No Image

Метод гаусса вычисления интеграла

СОДЕРЖАНИЕ
14 просмотров
05 мая 2020

Описанные выше методы используют фиксированные точки отрезка (концы и середину) и имеют низкий порядок точности(0 – методы правых и левых прямоугольников, 1 – методы средних прямоугольников и трапеций, 3 – метод парабол (Симпсона)). Если мы можем выбирать точки, в которых мы вычисляем значения функции , то можно при том же количестве вычислений подынтегральной функции получить методы более высокого порядка точности. Так для двух (как в методе трапеций) вычислений значений подынтегральной функции, можно получить метод уже не 1-го, а 3-го порядка точности:

.

В общем случае, используя точек, можно получить метод с порядком точности . Значения узлов метода Гаусса по точкам являются корнямиполинома Лежандрастепени .

Значения узлов метода Гаусса и их весов приводятся в справочниках специальных функций. Наиболее известен метод Гаусса по пяти точкам.

При заданном числе интервалов разбиения следует расположить их концы так, чтобы получить наивысшую точность интегрирования. В математическом плане это означает выбор коэффициентов Aiи узлов ti, i=1. n квадратурных формул Гаусса:

такими, чтобы формулы были точны для многочленов наивысшей возможной степени N. Можно показать, что при n узлах точно интерпретируются все многочлены степени N2n-1.

Узлы tiявляются корнями многочлена Лежандра:

.

Коэффициенты Ai вычисляются по формуле:

, i=1. n.

Погрешность усечения Rn:

, t[-1,1].

Для вычисления интеграла отрезок [a,b] преобразуется в отрезок [-1,1] путем замены переменной:

.

В результате формула Гаусса приобретает вид

,

где ,.

Квадратурная формула Гаусса обеспечивает высокую точность вычислений при небольшом числе узлов.

Метод Монте-Карло

В некоторых случаях из-за особенности подынтегральной функции (например, из-за ее большой сложности, неявном способе задания и т.д.), описанные выше методы нельзя или нецелесообразно использовать. В задачах, не требующих высокой точности, широкое распространение получил метод Монте-Карло.

Проиллюстрируем применение этого метода на примере приближенного вычисления следующего интеграла:

График подынтегрального выражения приведен на рисунке. Очевидно, что точное значение интеграла равно четверти площади круга единичного радиуса.

Построим прямоугольную область, которая будет полностью включать в себя искомый интеграл. В данном случае это будет квадрат с единичным ребром, показанный на рисунке. Далее, с помощью датчика случайных чисел генерируются точки

,

попадающие в эту область. В данном случае абсциссы и ординаты точек должны быть случайными числами, равномерно распределенными на отрезке [0, 1].

Для каждой точки проверяется, попадает ли она в область под или над графиком функции, то есть проверяется условие:

Если условие выполняется, то выбранная точка соответствует «успеху», если нет – то «промаху». Таким образом, процедура может быть описана как игра в «попадание» случайно выбранной точки в область под графиком (отсюда и название метода – Монте-Карло).

Вполне очевидно, что отношение числа «попаданий» (Nусп) к общему числу попыток (N) должно в пределе стремиться к доли площади прямоугольной области (Sпр), которую занимает область под интегрируемой функцией (значение интеграла, I).

Отсюда получается формула метода Монте-Карло:

Для реализации метода существенное значение имеет качество используемого датчика случайных чисел. Идеальный датчик должен давать равномерное распределение чисел в заданном диапазоне. Точность расчета интеграла определяется так же числом точек (N), используемых при вычислениях и, очевидно, должна увеличиваться при его росте.

Читайте также:  Как создать титульный лист в компасе

Метод Монте-Карло широко используется в современных методах моделирования динамики молекулярных систем, взаимодействия растворенного вещества с молекулами растворителя, кинетики адсорбции веществ на твердых поверхностях и т.д.

Вычисляет определенный интеграл методом прямоугольников, трапеций или парабол (методом Симпсона).

Численные методы вычисления значения определенного интеграла применяются в том случае, когда первообразная подинтегральной функции не выражается через аналитические функции, и поэтому невозможно вычислить значение по формуле Ньютона-Лейбница. Для получения значения определенного интеграла таких функций можно воспользоваться численным интегрированием.

Численное интегрирование сводится к вычислению площади криволинейной трапеции, ограниченной графиком заданной функции, осью х и вертикальными прямыми ограничивающими отрезок слева и справа. Подинтегральная функция заменяется на более простую, обеспечивающую заданную точность, вычисление интеграла для которой не составляет труда.

Калькулятор ниже вычисляет значение одномерного определенного интеграла численно на заданном отрезке, используя формулы Ньютона-Котеса, частными случаями которых являются:

Интеграл численным методом по формулам Ньютона-Котеса

Численное интегрирование с использованием функций Ньютона Котеса

При использовании функций Ньютона-Котеса отрезок интегрирования разбивается на несколько равных отрезков точками x1,x2,x3..xn.
Подинтегральную функцию заменяют интерполяционным многочленом Лагранжа различной степени, интегрируя который, получают формулу численного интегрирования различного порядка точности.

В итоге, приближенное значение определенного интеграла вычисляется, как сумма значений подинтегральной функции в узлах, помноженных на некоторые константы Wi (веса):

  • Rn – остаток или погрешность.
  • n – общее количество точек.
  • Сумма в формуле – квадратурное правило (метод).

В справочнике Квадратурные функции Ньютона-Котеса, мы собрали наиболее часто встречающиеся квадратурные правила, для интегрирования по равным отрезкам. Зарегистрированные пользователи могут добавлять в этот справочник новые правила.

Границы отрезка интегрирования

В зависимости от того, входят ли граничные точки отрезка в расчет, выделяют замкнутые и открытые квадратурные правила.

Открытые правила, (правила, в которых граничные точки не включаются в расчет) удобно использовать в том случае, если подинтегральная функция не определена в некоторых точках.
Например, используя метод прямоугольников мы сможем вычислим приблизительное значение интеграла функции ln(x) на отрезке (0,1), несмотря на то, что ln(0) не существует.

Замкнутые правила, напротив, используют значения функции в граничных точках для вычислений интеграла, ровно так же как и в остальных узлах.

Можно придумать правила, которые открыты только с одной стороны. Простейшим случаем таких правил являются правила левых и правых прямоугольников.

Погрешность вычисления

В целом с увеличением количества узлов в правиле (при повышении степени интерполирующего полинома) возрастает точность вычисления интеграла. Однако для некоторых функций это может и не быть справедливо.
Впервые анализ этой особенности опубликовал Карл Рунге, немецкий математик, занимавшийся исследованием численных методов.
Он заметил, интерполирующий полином с равномерным разбиением отрезка для функции перестает сходиться в диапазоне значений 0.726.. ≤ |x| 10 применять не рекомендуется.

Для увеличения точности численного интегрирования, можно разбить отрезок на несколько частей — частичных интервалов, и для каждой части отдельно вычислить приближенное значение интеграла. Сумма значений интеграла по всем частичным интервалам даст нам значение интеграла на всем отрезке. Кроме того можно комбинировать различные правила друг с другом в любой последовательности.

Читайте также:  Узел службы сетевая служба грузит диск

Для исследования работы с заданной функцией новых, основанных на формулах Ньютона-Котеса правил, можно воспользоваться базовым калькулятором, в котором веса задаются в явном виде:

“Численное интегрирование методом Гаусса”

Федеральное агентство по образованию

Тульский государственный университет

ЗАДАНИЕ НА КУРСОВУЮ РАБОТУ

Студенту гр.220371 Подобеденко И.В.

1. Тема: "Численное интегрирование-методом Гаусса"

Разработайте алгоритм и программу:

1) вычисления определённого интеграла методом Гаусса и 2) построения графика функции я 3) построения нескольких (по 2 – 3) “шагов” интегрирования на участках возрастания и убывания функции.

2. Срок представления курсовой работы на проверку с 12 по 15 мая 2008 г.

3. Защита курсовой работы с 19 по 23 мая 2008 г.

4. Требования к курсовой работе:

3.1 Разработать алгоритм и программу решения поставленной задачи.

3.2 Язык программирования – Паскаль.

3.3 Предусмотреть: а) диалоговый ввод исходных данных с проверкой правильности вводимых величин, б) блок пояснений к работе с программой, в) решение контрольного примера.

5. Форма отчётности:

пояснительная записка (ПЗ) объёмом 25-40 страниц на листах с рамками и штампом, отпечатанная на принтере,

графическая часть – лист формата А1,

дискета с текстом ПЗ, рисунком алгоритма и программой (текстовый и исполняемый файлы).

6. Содержание пояснительной записки к курсовой работе:

1) титульный лист,

2) задание на курсовую работу (настоявши бланк).

3) аннотация (краткая характеристика проделанной работы, объём ПЗ, количество таблиц, рисунков, схем. программ и приложений) с основной надписью по форме 2 (ГОСТ 2.104-68) – 1 с,

4) содержание (лист содержания и все последующие листы – с основной надписью по форме 2а – ГОСТ 2.104-68),

5) введение (область применения поставленной задачи, возможность использования ЭВМ для решения поставленной задачи) – 1-2 с,

6) анализ задания (выбор входных и выходных данных) – 2-3 с.

7) обзор литературных источников и разработка (выбор) математической модели задачи – 2-4 с,

8) описание методов вычислительной математики, которые будут использованы при решении поставленной задачи – 3-4 с,

9) разработка алгоритма решения задачи и описание его особенностей (разработанных или выбранных из готовых процедур и функций) – 5-7 с,

10) разработка программы по схеме алгоритма – 1-2 с.

11) разработка инструкции пользования программой – 1 с.

12) распечатка программы (текстовый файл) – допускается привести как приложение – 2-3 страницы

13) распечатка исходных данных и результатов решения контрольного примера – 1-2 с.

14) заключение (подробные выводы по проделанной работе) – 1-2 с.

15) список использованной литературы – 1 с.

16) приложения (инструкции пользования программой и др.)

7. Графическая часть: алгоритм решения поставленной задачи – лист формата A1

Аннотация

В работе рассмотрены методы численного интегрирования функций. Для подробного рассмотрения был взят метод Гаусса.

В рамках курсовой работы реализован словесный и на языке блок-схем алгоритм и программа на языке программирования Паскаль, которая вычисляет заданный интеграл по методы Гаусса и показывает графическое отображение процесса.

Читайте также:  Звуки при включении компьютера сигналы неисправности

Объем работы – 23 листа, количество рисунков – 2, представлена одна программа.

Содержание

1. Анализ задания. 8

2. Выбор математической модели задачи. 10

2.1 Метод прямоугольников. 10

2.2 Метод парабол (метод Симпсона) 11

2.4 Увеличение точности. 11

2.5 Метод Гаусса. 12

2.6 Метод Гаусса-Кронрода. 12

3. Описание методов вычислительной математики, которые будут использованы при решении поставленной задачи. 14

3.1. Разработка алгоритма решения задачи и описание его особенностей 15

3.2 Разработка программы по схеме алгоритма. 18

3.3 Разработка инструкции пользования программой. 19

3.4 Распечатка программы.. 19

3.5 Распечатка исходных данных и результатов решения контрольного примера 26

Список использованной литературы.. 28

Введение

Появление и непрерывное совершенствование быстродействующих электронных вычислительных машин (ЭВМ) привело к подлинно революционному преобразованию пауки вообще и математики в особенности. Изменилась технология научных исследований, колоссально увеличились возможности теоретического изучения, прогноза сложных процессов, проектирования инженерных конструкций. Решение крупных научно-технических проблем, примерами которых могут служить проблемы овладения ядерной энергией и освоения космоса, стало возможным лишь благодаря применению математического моделирования и новых численных методов, предназначенных для ЭВМ.

В настоящее время можно говорить, что появился новый способ теоретического исследования сложных процессов, допускающих математическое описание, – вычислительный эксперимент, т.е. исследование естественнонаучных проблем средствами вычислительной математики. Разработка и исследование вычислительных алгоритмов и их применение к решению конкретных задач составляет содержание огромного раздела современной математики – вычислительной математики.

Численные методы дают приближенное решение задачи. Это значит, что вместо точного решения и (функции или функционала) некоторой задачи мы находим решение у другой задачи, близкое в некотором смысле (например, по норме) к искомому. Основная идея всех методов – дискретизация или аппроксимация (замена, приближение) исходной задачи другой задачей, более удобной для решения на ЭВМ, причем решение аппроксимирующей задачи зависит от некоторых параметров, управляя которыми, можно определить решение с требуемой точностью. Например, в задаче численного интегрирования такими параметрами являются узлы и веса квадратурной формулы. Далее, решение дискретной задачи является элементом конечномерного пространства.

Численное интегрирование (историческое название: квадратура) – вычисление значения определённого интеграла (как правило, приближённое), основанное на том, что величина интеграла численно равна площади криволинейной трапеции, ограниченной осью абсцисс, графиком интегрируемой функции и отрезками прямых, которые являются пределами интегрирования.

Необходимость применения численного интегрирования чаще всего может быть вызвана отсутствием у первообразной функции представления в элементарных функциях и, следовательно, невозможностью аналитического вычисления значения определённого интеграла по формуле Ньютона-Лейбница. Также возможна ситуация, когда вид первообразной настолько сложен, что быстрее вычислить значение интеграла численным методом.

1. Анализ задания

Основная идея большинства методов численного интегрирования состоит в замене подынтегральной функции на более простую, интеграл от которой легко вычисляется аналитически. При этом для оценки значения интеграла получаются формулы вида

Комментировать
14 просмотров
Комментариев нет, будьте первым кто его оставит

Это интересно
No Image Компьютеры
0 комментариев
No Image Компьютеры
0 комментариев
No Image Компьютеры
0 комментариев
Adblock
detector