Задание:
Найдите площадь пятиугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см на 1 см (см. рис.).
Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Решение:
Для того чтобы найти площадь данного пятиугольника, Найдем площадь прямоугольника ABCD и вычтем площади прямоугольных треугольников EAM, EBF, FCK, площадь треугольника LMK и площадь трапеции NLKD(см. рис.).
Площадь прямоугольника ABCD равна (произведение длины на ширину) 8*5=40 (кв. см)
Площадь прямоугольного треугольника находится как полупроизведение его катетов.
Таким образом, площадь треугольника EAM равна 1/2*2*2=2 (кв. см)
Площадь треугольника EBF равна 1/2*3*3=4,5 (кв. см)
Площадь треугольника FCK равна 1/2*5*3=7,5 (кв. см)
Площадь треугольника LMK можно найти как полупроизведение стороны на высоту проведенную к этой стороне. Тогда, площадь треугольника LMK равна 1/2*4*1=2 (кв. см.).
Площадь трапеции найдем как полусумму оснований умноженную на высоту : 1/2(4+6)*2=10 (кв. см.).
Тогда площадь искомой фигуры будет равна 40 – 2 – 4,5 – 7,5 – 2 – 10 = 40 – 26 = 14 (кв. см).
Сегодня мы разберем самый простой прием, который используется в задаче B5 ЕГЭ по математике для нахождения площадей фигур, начерченных на координатной сетке. Этот метод также известен как метод описанного прямоугольника.
Рассмотрим самый простой случай:
- Фигура наложена на координатную сетку;
- Все вершины фигуры лежат в узлах этой сетки;
- Все внутренние углы фигуры меньше 180 °. Т.е. фигура является выпуклой.
Для работы нам потребуются две формулы:
- S тр = 0,5 ab — площадь прямоугольного треугольника с катетами a и b .
- S пр = ab — площадь произвольного прямоугольника со смежными сторонами a и b .
Итак, задача B5 из реального ЕГЭ по математике:
Задача B5. Найдите площадь пятиугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см × 1 см. Ответ дайте в квадратным сантиметрах.
В первую очередь строим описанный прямоугольник, причем так, чтобы на каждой из его сторон находилась хотя бы одна из сторон исходной фигуры.
В нашем случае оказалось, что три вершины исходной фигуры действительно лежат на сторонах описанного прямоугольника. А вот две оставшиеся лежат внутри красного периметра, поэтому для них требуется дополнительное построение. Проведем из каждой вершины высоты к ближайшим сторонам:
Готово! Мы получили прямоугольник, внутри которого заключена наша фигура, а также 7 маленьких фигур, чьи площади считаются по формулам прямоугольного треугольника и прямоугольника. Эти дополнительные фигуры называются .
Давайте обозначим площади этих фигур: S 1, S 2, S 3, S 4, S 5, S 6 и S 7. Получим следующую картинку:
Теперь считаем каждую из обозначенных площадей. Имеем:
S 1 = 0,5 · 1 · 2 = 1;
S 2 = 0,5 · 2 · 2 = 2;
S 3 = 0,5 · 1 · 2 = 1;
S 4 = 1 · 1 = 1;
S 5 = 0,5 · 4 · 1 = 2;
S 6 = 0,5 · 1 · 4 = 2;
S 7 = 1 · 1 = 1.
Далее считаем общую площадь красного прямоугольника. На самом деле это квадрат, каждая сторона которого равна 5. Итого площадь равна:
Теперь осталось найти площадь закрашенной фигуры — ту самую, которую от нас и просят найти в задаче B5 ЕГЭ по математике. Для этого из общей площади S надо вычесть площади тех кусочков S 1, S 2, . S 7, которые мы только что считали. Получим:
S = S − ( S 1 + S 2 + . + S 7) = 25 − (1 + 2 + . + 1) = 25 − 10 = 15
Вот и все решение! Площадь закрашенной фигуры равна 15. Надеюсь, этот урок будет полезен тем, кто начинает готовиться к ЕГЭ по математике.
OBRAZOVALKA.COM – образовательный портал
Наш сайт это площадка для образовательных консультаций, вопросов и ответов для школьников и студентов .
На вопросы могут отвечать также любые пользователи, в том числе и педагоги.
Консультацию по вопросам и домашним заданиям может получить любой школьник или студент.
