В этой инструкции описывается метод нахождения среднего значения функции, путём нахождения интеграла этой функции.
Инструкция
Что вам понадобится:
- Умение решать интегралы, знание методов интегрирования
- знание методов дифференцирования
- ручка (если есть необходимость в записи)
- листок бумаги (если нужно куда-то записать)
- учебник (часто пригождается)
1 шаг
Сначала нужно найти неопределённый интеграл заданной функции y= f(x), при этом домножив функцию f(x) на dx :
где F(x) – это первообразная от f(x), а C – это константа, которую мы обязательно должны дописать, пусть и схематично. Искать эту константу в конкретном примере не нужно, нужно просто указать что она есть.
2 шаг
Затем нам нужно найти определённый интеграл функции (y=f(x)), в котором нижний предел A – будет равен меньшему значению заданного интервала(промежутка), а верхний предел B – будет равен большему значению заданного интервала(промежутка) [A,B], он будет равен разности значений первообразной F(x).
То-есть сначала мы находим первое значение первообразной, подставив вместо переменной x число B, затем находим второе значение первообразной, в котором переменную x мы заменяем на число A, и из первого значения вычитаем второе.
3 шаг
Когда мы нашли определённый интеграл, нам нужно разделить его значение на разность большего и меньшего значения интервала(промежутка): среднее значение f(x)=∆F/(B-A)
4 шаг
Рассмотрим один из примеров,
шаг первый, самый сложный (к нему мы еще будем возвращаться в других примерах):
5 шаг
Здесь рассмотрен второй шаг.
С помощью калькулятора вычисляем что cos pi =(-1), а cos 0=1;
arctg(-1)=(-pi/4), arctg 1=pi/4 :
6 шаг
И здесь завершение, третий шаг. С :
Советы и предупреждения:
- Это не универсальный метод, так как не любую функцию можно проинтегрировать.
- Если чего-нибудь не хватает, предлагайте – подредактирую.
- Методы и примеры со временем буду добавлять. Продолжение следует..
Обсуждение
Редкая инструкция с математическим уклоном!
Рекомендую добавить в теги “обучение”, математика", “школа”.
Раздел математики почти совсем не освещен на аКак, так что есть не освоенный простор 🙂
Спасибо, Violina. Сделаю.
Ваш комментарий
Запросить инструкцию
Не нашли нужную пошаговую инструкцию?
Возможно, что кто-то из посетителей сайта сможет помочь. Оставьте запрос прямо сейчас, если Вы уверены, что эта тема ещё не освещена на нашем проекте!
Теорема о среднем. Если f(x) непрерывна на отрезке [a,b], то существует точка 
, такая что
. Док-во. Функция, непрерывная на отрезке, принимает на этом отрезке своё наименьшее m и наибольшее M значения. Тогда
. Число
заключено между минимальным и максимальным значениями функции на отрезке. Одно из свойств функции, непрерывной на отрезке, заключается в том, что эта функция принимает любое значение, расположенное между m и M. Таким образом, существует точка
, такая что
. Это свойство имеет простую геометрическую интерпретацию: если
непрерывна на отрезке [a,b], то существует точка
такая, что площадь криволинейной трапеции ABCD равна площади прямоугольника с основанием [a,b] и высотой f(c) (на рисунке выделен цветом).
7. Интеграл с переменным верхним пределом. Его непрерывность и дифференцируемость.
Рассмотрим функцию f (x), интегрируемую по Риману на отрезке [a, b]. Раз она интегрируема на [a, b], то она также интегрируема на [a, x] ∀x ∈ [a, b]. Тогда при каждом x ∈ [a, b] имеет смысл выражение 
, и при каждом x оно равно некоторому числу.
Таким образом, каждому x ∈ [a, b] поставлено в соответствие некоторое число 
,
т.е. на [a, b] задана функция:
(3.1)
Функция F (x), заданная в (3.1), а также само выражение 
называется
интегралом с переменным верхним пределом. Она определена на всем отрезке [a, b]
интегрируемости функции f (x).
Условие: f (t) непрерывна на [a, b], а функция F (x) задана формулой (3.1).
Утверждение: Функция F(x) дифференцируема на [a, b], причем F (x) = f (x).
(В точке a она дифференцируема справа, а в точке b – слева.)
Поскольку для функции одной переменной F (x) дифференцируемость равносильна существованию производной во всех точках (в точке a справа, а в точке b – слева), то мы найдем производную F (x). Рассмотрим разность
,
при этом точка ξ лежит на отрезке [x, x + ∆x] (или [x + ∆x, x] если ∆x c=F(a), и
.
Перенесем F(a) в последнем равенстве в левую часть, переобозначим переменную интегрирования снова через x и получим формулу Ньютона – Лейбница:
