Параметрическое уравнение спирали архимеда

Архимедова спираль — плоская кривая сформированная траекторией произвольной точки, которая размеренно двигается по лучу берущему свое начало в O, одновременно с этим сам луч размерено обращается вокруг O. Перефразировав получаем, расстояние ρ пропорционально углу оборота φ луча. Обороту луча на одинаковый угол соответствует одно и то же увеличение ρ.

Уравнение, характеризующее Архимедову спираль, в полярной системе координат:

где k — сдвиг точки M по лучу r, при обороте на угол, который равен одному радиану.

Обороту прямой на 2π соответствует смещение a = 2kπ.

Число a — шаг спирали.

На основании этого уравнение Архимедовой спирали можно представить таким образом:

Когда поворачиваем луч против движения часовой стрелки, получаем правую спираль, когда поворачиваем — по часовой стрелке — левую спираль. При положительной величине φ формируется правая спираль, отрицательной — левая спираль.

Архимедова спираль — спираль, плоская кривая, траектория точки M (см Рис. 1), которая равномерно движется вдоль лучаOV с началом в O, в то время как сам луч OV равномерно вращается вокруг O. Другими словами, расстояние с = OM пропорционально углу поворота ц луча OV. Повороту луча OV на один и тот же угол соответствует одно и то же приращение с.

Уравнение Архимедовой спирали в полярной системе координат записывается так: (1) где k — смещение точки M по лучу r, при повороте на угол равный одному радиану.

Повороту прямой на 2р соответствует смещение a = |BM| = |MA| = 2kр. Число a — называется шагом спирали.

Уравнение Архимедовой спирали можно переписать так:

Логарифмимческаяспирамль или изогональная спираль — особый вид спирали, часто встречающийся в природе. Логарифмическая спираль была впервые описана Декартом и позже интенсивно исследована Бернулли, который называл её Spiramirabilis, «удивительная спираль».

В полярных координатах кривая может быть записана как

что объясняет название «логарифмическая».

В параметрической форме может быть записана как

где a, b — действительные числа.

· Угол, составляемый касательной в произвольной точке логарифмической спирали с радиус-вектором точки касания, постоянный и зависит лишь от параметра b.
o В терминах дифференциальной геометрии это может быть записано как

· Производная функциипропорциональна параметру b. Другими словами, он определяет, насколько плотно и в каком направлении закручивается спираль. В предельном случае, когда спираль вырождается в окружность радиуса a. Наоборот, когда bстремится к бесконечностиспираль стремится к прямой линии. Угол, дополняющий до 90°, называется наклоном спирали.
· Размер витков логарифмической спирали постепенно увеличивается, но их форма остаётся неизменной. Возможно, в результате этого свойства, логарифмическая спираль появляется в определённых растущих формах, подобных раковинам моллюсков и шляпкам подсолнечников.
2.13 Гиперболическая спираль

Гиперболическая спираль — плоская трансцендентная кривая.

Уравнение гиперболической спирали в полярной системе координат является обратным для уравнения Архимедовой спирали и записывается так:

Уравнение гиперболической спирали в декартовых координатах:

Параметрическая запись уравнения:

Спираль имеет асимптотуy = a: при tстремящемся к нулю ордината стремится к a, а абсцисса уходит в бесконечность:

Математика для школьников и студентов, обучение и образование

Архимедова спираль

История спирали Архимеда

Архимедова спираль была открыта (правильно, Вы угадали!) Архимедом. Это произошло в III веке до н.э., когда он экспериментировал с компасом. Он тянул стрелку компаса с постоянной скоростью, вращая сам компас по часовой стрелке. Получившаяся кривая была спиралью, которая сдвигались на ту же величину, на которую поворачивался компас, и между витками спирали сохранялось одно и то же расстояние.

Использование архимедовой спирали в древности

Архимедову спираль использовали как наилучший способ определения площади круга. С ее помощью был улучшен древний греческий метод нахождения площади круга через измерение длины окружности. Спираль дала возможность более точного измерения длины окружности, а следовательно, и площади круга. Однако вскоре, когда Архимед попытался вычислить более точно значение , которое упрощало нахождение площади круга, было доказано, что спираль для этого не подходит.

Что такое обобщенная Архимедова спираль?

Обобщенная Архимедова спираль определяется как кривая, которая задается в полярных координатах уравнением (далее положим ). Спираль Архимеда, в частности, принадлежит множеству обобщенных Архимедовых спиралей.