No Image

Перевод из параметрического вида в общий

СОДЕРЖАНИЕ
16 просмотров
05 мая 2020

Как показано выше, уравнения одой и той же прямой можно записать по крайней мере в трех видах: общие уравнения прямой, параметрические уравнения прямой и канонические уравнения прямой. Рассмотрим вопрос о переходе от уравнений прямой одного вида к уравнениям прямой в другом виде.

Во-первых заметим, что если заданы уравнения прямой в параметрической форме, то тем самым заданы точка, через которую проходит прямая и направляющий вектор прямой. Поэтому не составляет труда записать уравнения прямой в канонической форме.

Даны уравнения прямой в параметрической форме

.

Записать канонические уравнения прямой.

Прямая проходит через точку и имеет направляющий вектор. Следовательно, канонические уравнения прямой имеют вид

.

Аналогично решается задача о переходе от канонических уравнений прямой к параметрическим уравнениям прямой.

Переход от канонических уравнений прямой к общим уравнениям прямой рассматривается ниже на примере.

Даны канонические уравнения прямой

.

Записать общие уравнения прямой.

Запишем канонические уравнения прямой в виде системы двух уравнений

.

Избавляясь от знаменателей путем умножения обеих частей первого уравнения на 6, а второго уравнения на 4, получим систему

.

.

Полученная система уравнений и есть общие уравнения прямой.

Рассмотрим переход от общих уравнений прямой к параметрическим и каноническим уравнениям прямой. Чтобы записать канонические или параметрические уравнения прямой, надо знать точку, через которую проходит прямая, и направляющий вектор прямой. Если определить координаты двух точек и, лежащих на прямой, то в качестве направляющего вектора м можно взять вектор. Координаты двух точек, лежащих на прямой, можно получить как решения системы уравнений, определяющих общие уравнения прямой. В качестве точки, через которую проходит прямая, можно взять любую из точеки. Проиллюстрируем сказанное выше на примере.

Даны общие уравнения прямой

.

Записать параметрические и канонические уравнения прямой.

Найдем координаты двух точек, лежащих на прямой, как решения этой системы уравнений. Полагая , получим систему уравнений

.

Решая эту систему, находим . Следовательно, точкалежит на прямой. Полагая, получаем систему уравнений

,

решая которую находим . Следовательно, прямая проходит через точку. Тогда в качестве направляющего вектора можно взять вектор

.

Итак, прямая проходит через точку и имеет направляющий вектор. Следовательно, параметрические уравнения прямой имеют вид

.

Тогда канонические уравнения прямой запишутся в виде

.

Другой способ нахождения направляющего вектора прямой по общим уравнениям прямой основан на том, что в этом случае заданы уравнения плоскостей, а значит и нормали к этим плоскостям.

Пусть общие уравнения прямой имеют вид

и– нормали к первой и второй плоскости, соответственно. Тогда векторможно взять в качестве направляющего вектора прямой. В самом деле, прямая, будучи линией пересечения этих плоскостей, одновременно перпендикулярна векторами. Следовательно, она коллинеарна векторуи значит этот вектор можно взять в качестве направляющего вектора прямой. Рассмотрим пример.

Даны общие уравнения прямой

.

Записать параметрические и канонические уравнения прямой.

Прямая является линией пересечения плоскостей с нормалями и. Берем в качестве направляющего вектора прямой вектор

Найдем точку, лежащую на прямой. Найдем точку, лежащую на прямой. Пусть . Тогда получаем систему

.

Решая систему, находим .Следовательно, точкалежит на прямой. Тогда параметрические уравнения прямой можно записать в виде

.

Канонические уравнения прямой имеют вид

.

Наконец, к каноническим уравнениям можно перейти исключив в одном из уравнений одну из переменных, а затем другую переменную. Рассмотрим этот метод на примере.

Даны общие уравнения прямой

.

Записать канонические уравнения прямой.

Исключим из второго уравнения переменную у, прибавив к нему первое, умноженное на четыре. Получим

.

.

Теперь исключим из второго уравнения переменную , прибавив к нему первое уравнение, умноженное на два. Получим

.

.

Отсюда получаем каноническое уравнение прямой

.

.

.

Содержание:

Одним из подпунктов темы «Уравнение прямой на плоскости» является вопрос составления параметрических уравнений прямой на плоскости в прямоугольной системе координат. В статье ниже рассматривается принцип составления подобных уравнений при определенных известных данных. Покажем, как от параметрических уравнений переходить к уравнениям иного вида; разберем решение типовых задач.

Вывод параметрических уравнений прямой на плоскости

Конкретная прямая может быть определена, если задать точку, которая принадлежит этой прямой, и направляющий вектор прямой.

Допустим, нам задана прямоугольная система координат O x y . А также заданы прямая а с указанием лежащей на ней точки М 1 ( x 1 , y 1 ) и направляющий вектор заданной прямой a → = ( a x , a y ) . Дадим описание заданной прямой a , используя уравнения.

Используем произвольную точку М ( x , y ) и получим вектор М 1 М → ; вычислим его координаты по координатам точек начала и конца: M 1 M → = ( x – x 1 , y – y 1 ) . Опишем полученное: прямая задана множеством точек М ( x , y ) , проходит через точку М 1 ( x 1 , y 1 ) и имеет направляющий вектор a → = ( a x , a y ) . Указанное множество задает прямую только тогда, когда векторы M 1 M → = ( x – x 1 , y – y 1 ) и a → = ( a x , a y ) являются коллинеарными.

Читайте также:  Почему комп не видит смартфон через usb

Существует необходимое и достаточное условие коллинеарности векторов, которое в данном случае для векторов M 1 M → = ( x – x 1 , y – y 1 ) и a → = ( a x , a y ) возможно записать в виде уравнения:

M 1 M → = λ · a → , где λ – некоторое действительное число.

Уравнение M 1 M → = λ · a → называют векторно-параметрическим уравнением прямой.

В координатной форме оно имеет вид:

M 1 M → = λ · a → ⇔ x – x 1 = λ · a x y – y 1 = λ · a y ⇔ x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ

Уравнения полученной системы x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ носят название параметрических уравнений прямой на плоскости в прямоугольной системе координат. Суть названия в следующем: координаты всех точек прямой возможно определить по параметрическим уравнениям на плоскости вида x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ при переборе всех действительных значений параметра λ

Составление параметрических уравнений прямой на плоскости

Согласно вышесказанному, параметрические уравнения прямой на плоскости x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ определяют прямую линию, которая задана в прямоугольной системе координат, проходит через точку М 1 ( x 1 , y 1 ) и имеет направляющий вектор a → = ( a x , a y ) . Следовательно, если заданы координаты некоторой точки прямой и координаты ее направляющего вектора, то возможно сразу записать параметрические уравнения заданной прямой.

Необходимо составить параметрические уравнения прямой на плоскости в прямоугольной системе координат, если заданы принадлежащая ей точка М 1 ( 2 , 3 ) и ее направляющий вектор a → = ( 3 , 1 ) .

Решение

На основе исходных данных получим: x 1 = 2 , y 1 = 3 , a x = 3 , a y = 1 . Параметрические уравнения будут иметь вид:

x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ ⇔ x = 2 + 3 · λ y = 3 + 1 · λ ⇔ x = 2 + 3 · λ y = 3 + λ

Ответ: x = 2 + 3 · λ y = 3 + λ

Необходимо отметить: если вектор a → = ( a x , a y ) служит направляющим вектором прямой а, а точки М 1 ( x 1 , y 1 ) и М 2 ( x 2 , y 2 ) принадлежат этой прямой, то ее возможно определить, задав параметрическими уравнениями вида: x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ , а также и таким вариантом: x = x 2 + a x · λ y = y 2 + a y · λ .

К примеру, нам заданы направляющий вектор прямой a → = ( 2 , – 1 ) , а также точки М 1 ( 1 , – 2 ) и М 2 ( 3 , – 3 ) , принадлежащие этой прямой. Тогда прямую определяют параметрические уравнения: x = 1 + 2 · λ y = – 2 – λ или x = 3 + 2 · λ y = – 3 – λ .

Следует обратить внимание и на такой факт: если a → = ( a x , a y ) – направляющий вектор прямой a , то ее направляющим вектором будет и любой из векторов μ · a → = ( μ · a x , μ · a y ) , где μ ϵ R , μ ≠ 0 .

Таким образом, прямая а на плоскости в прямоугольной системе координат может быть определена параметрическими уравнениями: x = x 1 + μ · a x · λ y = y 1 + μ · a y · λ при любом значении μ , отличном от нуля.

Допустим, прямая а задана параметрическими уравнениями x = 3 + 2 · λ y = – 2 – 5 · λ . Тогда a → = ( 2 , – 5 ) направляющий вектор этой прямой. А также любой из векторов μ · a → = ( μ · 2 , μ · – 5 ) = 2 μ , – 5 μ , μ ∈ R , μ ≠ 0 станет направляющим вектором для заданной прямой. Для наглядности рассмотрим конкретный вектор – 2 · a → = ( – 4 , 10 ) , ему соответствует значение μ = – 2 . В таком случае заданную прямую можно также определить параметрическими уравнениями x = 3 – 4 · λ y = – 2 + 10 · λ .

Переход от параметрических уравнений прямой на плоскости к прочим уравнениям заданной прямой и обратно

В решении некоторых задач применение параметрических уравнений является не самым оптимальным вариантом, тогда возникает необходимость перевода параметрических уравнений прямой в уравнения прямой другого вида. Рассмотрим, как же это сделать.

Параметрическим уравнениям прямой вида x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ будет соответствовать каноническое уравнение прямой на плоскости x – x 1 a x = y – y 1 a y .

Разрешим каждое из параметрических уравнений относительно параметра λ , приравняем правые части полученных равенств и получим каноническое уравнение заданной прямой:

x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ ⇔ λ = x – x 1 a x λ = y – y 1 a y ⇔ x – x 1 a x = y – y 1 a y

При этом не должно смущать, если a x или a y будут равны нулю.

Необходимо осуществить переход от параметрических уравнений прямой x = 3 y = – 2 – 4 · λ к каноническому уравнению.

Решение

Запишем заданные параметрические уравнения в следующем виде: x = 3 + 0 · λ y = – 2 – 4 · λ

Выразим параметр λ в каждом из уравнений: x = 3 + 0 · λ y = – 2 – 4 · λ ⇔ λ = x – 3 0 λ = y + 2 – 4

Приравняем правые части системы уравнений и получим требуемое каноническое уравнение прямой на плоскости:

x – 3 0 = y + 2 – 4

Ответ: x – 3 0 = y + 2 – 4

В случае, когда необходимо записать уравнение прямой вида A x + B y + C = 0 , при этом заданы параметрические уравнения прямой на плоскости, необходимо сначала осуществить переход к каноническому уравнению, а затем к общему уравнению прямой. Запишем всю последовательность действий:

x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ ⇔ λ = x – x 1 a x λ = y – y 1 a y ⇔ x – x 1 a x = y – y 1 a y ⇔ ⇔ a y · ( x – x 1 ) = a x · ( y – y 1 ) ⇔ A x + B y + C = 0

Читайте также:  Приложение для форматирования флешки

Необходимо записать общее уравнение прямой, если заданы определяющие ее параметрические уравнения: x = – 1 + 2 · λ y = – 3 · λ

Решение

Для начала осуществим переход к каноническому уравнению:

x = – 1 + 2 · λ y = – 3 · λ ⇔ λ = x + 1 2 λ = y – 3 ⇔ x + 1 2 = y – 3

Полученная пропорция идентична равенству – 3 · ( x + 1 ) = 2 · y . Раскроем скобки и получим общее уравнение прямой: – 3 · x + 1 = 2 · y ⇔ 3 x + 2 y + 3 = 0 .

Ответ: 3 x + 2 y + 3 = 0

Следуя вышеуказанной логике действий, для получения уравнения прямой с угловым коэффициентом, уравнения прямой в отрезках или нормального уравнения прямой необходимо получить общее уравнение прямой, а от него осуществлять дальнейший переход.

Теперь рассмотрим обратное действие: запись параметрических уравнений прямой при другом заданном виде уравнений этой прямой.

Самый простой переход: от канонического уравнения к параметрическим. Пусть задано каноническое уравнение вида: x – x 1 a x = y – y 1 a y . Каждое из отношений этого равенства примем равным параметру λ :

x – x 1 a x = y – y 1 a y = λ ⇔ λ = x – x 1 a x λ = y – y 1 a y

Разрешим полученные уравнения относительно переменных x и y :

x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ

Необходимо записать параметрические уравнения прямой, если известно каноническое уравнение прямой на плоскости: x – 2 5 = y – 2 2

Решение

Приравняем части известного уравнения к параметру λ : x – 2 5 = y – 2 2 = λ . Из полученного равенства получим параметрические уравнения прямой: x – 2 5 = y – 2 2 = λ ⇔ λ = x – 2 5 λ = y – 2 5 ⇔ x = 2 + 5 · λ y = 2 + 2 · λ

Ответ: x = 2 + 5 · λ y = 2 + 2 · λ

Когда необходимо осуществить переход к параметрическим уравнениям от заданного общего уравнения прямой, уравнения прямой с угловым коэффициентом или уравнения прямой в отрезках, необходимо исходное уравнение привести к каноническому, а после осуществлять переход к параметрическим уравнениям.

Необходимо записать параметрические уравнения прямой при известном общем уравнении этой прямой: 4 x – 3 y – 3 = 0 .

Решение

Заданное общее уравнение преобразуем в уравнение канонического вида:

4 x – 3 y – 3 = 0 ⇔ 4 x = 3 y + 3 ⇔ ⇔ 4 x = 3 y + 1 3 ⇔ x 3 = y + 1 3 4

Приравняем обе части равенства к параметру λ и получим требуемые параметрические уравнения прямой:

x 3 = y + 1 3 4 = λ ⇔ x 3 = λ y + 1 3 4 = λ ⇔ x = 3 · λ y = – 1 3 + 4 · λ

Ответ: x = 3 · λ y = – 1 3 + 4 · λ

Примеры и задачи с параметрическими уравнениями прямой на плоскости

Рассмотрим чаще всего встречаемые типы задач с использованием параметрических уравнений прямой на плоскости в прямоугольной системе координат.

  1. В задачах первого типа заданы координаты точек, принадлежащих или нет прямой, описанной параметрическими уравнениями.

Решение таких задач опирается на следующий факт: числа ( x , y ) , определяемые из параметрических уравнений x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ при некотором действительном значении λ , являются координатами точки, принадлежащей прямой, которая описывается этими параметрическими уравнениями.

Необходимо определить координаты точки, которая лежит на прямой, заданной параметрическими уравнениями x = 2 – 1 6 · λ y = – 1 + 2 · λ при λ = 3 .

Решение

Подставим в заданные параметрические уравнения известное значение λ = 3 и осуществим вычисление искомых координат: x = 2 – 1 6 · 3 y = – 1 + 2 · 3 ⇔ x = 1 1 2 y = 5

Ответ: 1 1 2 , 5

Также возможна следующая задача: пусть задана некоторая точка M 0 ( x 0 , y 0 ) на плоскости в прямоугольной системе координат и нужно определить, принадлежит ли эта точка прямой, описываемой параметрическими уравнениями x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ .

Чтобы решить подобную задачу, необходимо подставить координаты заданной точки в известные параметрические уравнения прямой. Если будет определено, что возможно такое значение параметра λ = λ 0 , при котором будут верными оба параметрических уравнения, тогда заданная точка является принадлежащей заданной прямой.

Заданы точки М 0 ( 4 , – 2 ) и N 0 ( – 2 , 1 ) . Необходимо определить, являются ли они принадлежащими прямой, определенной параметрическими уравнениями x = 2 · λ y = – 1 – 1 2 · λ .

Решение

Подставим координаты точки М 0 ( 4 , – 2 ) в заданные параметрические уравнения:

4 = 2 · λ – 2 = – 1 – 1 2 · λ ⇔ λ = 2 λ = 2 ⇔ λ = 2

Делаем вывод, что точка М 0 принадлежит заданной прямой, т.к. соответствует значению λ = 2 .

Далее по аналогии проверим заданную точку N 0 ( – 2 , 1 ) , подставив ее координаты в заданные параметрические уравнения:

– 2 = 2 · λ 1 = – 1 – 1 2 · λ ⇔ λ = – 1 λ = – 4

Очевидно, что не существует такого параметра λ , которому будет соответствовать точка N 0 . Другими словами, заданная прямая не проходит через точку N 0 ( – 2 , 1 ) .

Ответ: точка М 0 принадлежит заданной прямой; точка N 0 не принадлежит заданной прямой.

  1. В задачах второго типа требуется составить параметрические уравнения прямой на плоскости в прямоугольной системе координат. Самый простой пример такой задачи (при известных координатах точки прямой и направляющего вектора) был рассмотрен выше. Теперь разберем примеры, в которых сначала нужно найти координаты направляющего вектора, а потом записать параметрические уравнения.

Пример 8

Задана точка M 1 1 2 , 2 3 . Необходимо составить параметрические уравнения прямой, проходящей через эту точку и параллельной прямой x 2 = y – 3 – 1 .

Решение

По условию задачи прямая, уравнение которой нам предстоит опередить, параллельна прямой x 2 = y – 3 – 1 . Тогда в качестве направляющего вектора прямой, проходящей через заданную точку, возможно использовать направляющий вектор прямой x 2 = y – 3 – 1 , который запишем в виде: a → = ( 2 , – 1 ) . Теперь известны все необходимые данные для того, чтобы составить искомые параметрические уравнения:

Читайте также:  Выключить antimalware service executable в windows 10

x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ ⇔ x = 1 2 + 2 · λ y = 2 3 + ( – 1 ) · λ ⇔ x = 1 2 + x · λ y = 2 3 – λ

Ответ: x = 1 2 + x · λ y = 2 3 – λ .

Задана точка М 1 ( 0 , – 7 ) . Необходимо записать параметрические уравнения прямой, проходящей через эту точку перпендикулярно прямой 3 x – 2 y – 5 = 0 .

Решение

В качестве направляющего вектора прямой, уравнение которой надо составить, возможно взять нормальный вектор прямой 3 x – 2 y – 5 = 0 . Его координаты ( 3 , – 2 ) . Запишем требуемые параметрические уравнения прямой:

x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ ⇔ x = 0 + 3 · λ y = – 7 + ( – 2 ) · λ ⇔ x = 3 · λ y = – 7 – 2 · λ

Ответ: x = 3 · λ y = – 7 – 2 · λ

  1. В задачах третьего типа требуется осуществить переход от параметрических уравнений заданной прямой к прочим видам уравнений, которые ее определяют. Решение подобных примеров мы рассматривали выше, приведем еще один.

Пример 10

Дана прямая на плоскости в прямоугольной системе координат, определяемая параметрическими уравнениями x = 1 – 3 4 · λ y = – 1 + λ . Необходимо найти координаты какого-либо нормального вектора этой прямой.

Решение

Чтобы определить искомые координаты нормального вектора, осуществим переход от параметрических уравнений к общему уравнению:

x = 1 – 3 4 · λ y = – 1 + λ ⇔ λ = x – 1 – 3 4 λ = y + 1 1 ⇔ x – 1 – 3 4 = y + 1 1 ⇔ ⇔ 1 · x – 1 = – 3 4 · y + 1 ⇔ x + 3 4 y – 1 4 = 0

Коэффициенты переменных x и y дают нам требуемые координаты нормального вектора. Таким образом, нормальный вектор прямой x = 1 – 3 4 · λ y = – 1 + λ имеет координаты 1 , 3 4 .

Ответ: 1 , 3 4 .

Предыдущая статья

Сложение натуральных чисел столбиком: правило, примеры

Следующая статья

Параллельные плоскости, признак и условия параллельности плоскостей

Уравнение прямой на плоскости

Любую прямую на плоскости можно задать уравнением прямой первой степени вида

где A и B не могут быть одновременно равны нулю.

Уравнение прямой с угловым коэффициентом

Общее уравнение прямой при B≠0 можно привести к виду

где k – угловой коэффициент равный тангенсу угла, образованного данной прямой и положительным направлением оси ОХ.

Уравнение прямой в отрезках на осях

Если прямая пересекает оси OX и OY в точках с координатами ( a , 0) и (0, b ), то она может быть найдена используя формулу уравнения прямой в отрезках

x + y = 1
a b

Уравнение прямой, проходящей через две различные точки на плоскости

Если прямая проходит через две точки M( x 1, y 1) и N( x 2, y 2), такие что x 1 ≠ x 2 и y 1 ≠ y 2, то уравнение прямой можно найти, используя следующую формулу

x – x 1 = y – y 1
x 2 – x 1 y 2 – y 1

Параметрическое уравнение прямой на плоскости

Параметрические уравнения прямой могут быть записаны следующим образом

x = l t + x y = m t + y

где N( x , y ) – координаты точки лежащей на прямой, a = < l , m >- координаты направляющего вектора прямой.

Каноническое уравнение прямой на плоскости

Если известны координаты точки N( x , y ) лежащей на прямой и направляющего вектора a = ( l и m не равны нулю), то уравнение прямой можно записать в каноническом виде, используя следующую формулу

x – x = y – y
l m

Решение. Воспользуемся формулой для уравнения прямой проходящей через две точки

x – 1 2 – 1 = y – 7 3 – 7

Упростив это уравнение получим каноническое уравнение прямой

Выразим y через x и получим уравнение прямой с угловым коэффициентом

Найдем параметрическое уравнение прямой. В качестве направляющего вектора можно взять вектор MN .

Взяв в качестве координат точки лежащей на прямой, координаты точки М, запишем параметрическое уравнение прямой

x = t + 1 y = -4 t + 7

Решение. Так как M y – N y = 0, то невозможно записать уравнение прямой проходящей через две точки.

Найдем параметрическое уравнение прямой. В качестве направляющего вектора можно взять вектор MN .

Взяв в качестве координат точки лежащей на прямой, координаты точки М, запишем параметрическое уравнение прямой

Уравнение прямой в пространстве

Уравнение прямой, проходящей через две различные точки в пространстве

Если прямая проходит через две точки M( x 1, y 1, z 1) и N( x 2, y 2, z 2), такие что x 1 ≠ x 2, y 1 ≠ y 2 и z 1 ≠ z 2, то уравнение прямой можно найти используя следующую формулу

x – x 1 = y – y 1 = z – z 1
x 2 – x 1 y 2 – y 1 z 2 – z 1

Параметрическое уравнение прямой в пространстве

Параметрические уравнения прямой могут быть записаны следующим образом

x = l t + x
y = m t + y
z = n t + z

где ( x , y , z ) – координаты точки лежащей на прямой, – координаты направляющего вектора прямой.

Каноническое уравнение прямой в пространстве

Если известны координаты точки M( x , y , z ) лежащей на прямой и направляющего вектора n = , то уравнение прямой можно записать в каноническом виде, используя следующую формулу

x – x = y – y = z – z
l m n

Прямая как линия пересечения двух плоскостей

Если прямая является пересечением двух плоскостей, то ее уравнение можно задать следующей системой уравнений

Комментировать
16 просмотров
Комментариев нет, будьте первым кто его оставит

Это интересно
No Image Компьютеры
0 комментариев
No Image Компьютеры
0 комментариев
No Image Компьютеры
0 комментариев
Adblock
detector