Цель. Рассмотреть правила определения значения истинности составного высказывания и высказывательных форм с кванторами.
Теоретическая часть
Вопросы к изучению
1. Высказывания с кванторами.
2. Истинность высказываний с кванторами.
3. Отрицание высказываний и высказывательных форм.
Основные понятия темы
Ø квантор общности;
Ø квантор существования;
Ø отрицание высказываний и высказывательных форм.
Правила
Ø нахождения множества истинности составных высказывательных форм:
Т А Ù В = ТА Ç Т В, Т А Ú В = ТА È Т В, 
построения отрицания предложений различной структуры, в частности,
и 
Ú 
Û 
Ù 
.
Û ($ х) 
; 
Û (" х) .
Обозначения
" х – «для всякого х», квантор общности;
$ х — «существует х такое, что …», квантор существования;
— « не А», « неверно, что А», отрицание данного предложения
Практическая часть
1. В высказывании «всякий прямоугольник является четырехугольником» выделите квантор и высказывательную форму. Переформулируйте данное высказывание, заменив слово «всякий» его синонимом.
2. В высказывании «хотя бы одно из чисел первого десятка составное» выделите квантор и высказывательную форму. Переформулируйте данное высказывание, заменив квантор «хотя бы одно» его синонимом.
3. Прочитайте следующие записи, заменив символические обозначения кванторов общности и существования их словесными выражениями: а) ("х ÎR) х 2 – 1 = (х+1) (х-1); б) ($ у Î R) 5 + у =5; в) ("у ÎR) у + 3 > 0; г) ($ х Î N) х +3 2 + вх +с = 0 имеет хотя бы один корень.
5. Запишите, используя символы, следующие высказывания и определите их значение истинности: а) Всякое число, умноженное на нуль, есть нуль; б) Произведение любого числа и единицы равно этому числу; в) При делении нуля на любое другое число получается нуль; г) Квадрат любого числа неотрицателен.
6. Установите, какие из нижеприведенных высказываний истинны, а какие ложны: а) Во всяком четырехугольнике диагонали равны; б) Существуют числовые выражения, значения которых нельзя найти; в) При делении на 5 некоторых натуральных чисел в остатке получается 7; г) Любое однозначное число является решением неравенства х + 2 > 1.
7. Докажите или опровергните следующие высказывания: а) Существуют уравнения, множество решений которых пусто; б) Всякое целое число является натуральным; в) Сумма любых двух четных чисел есть число четное; г) Хотя бы одно натуральное число является решением уравнения 7: х =2.
8. Данные ниже высказывания взяты из учебников математики для начальных классов. Выясните, какие из них содержат (в явном или неявном виде) квантор и как следует устанавливать их значение истинности (указать только способ и обосновать его выбор): а) От перестановки слагаемых сумма не изменяется; б) Два соседних слагаемых можно заменять их суммой; в) Площадь прямоугольника равна произведению его длины на ширину; г) Существуют четные числа; д) Некоторые числа делятся на 4; е) Среди многоугольников есть треугольники.
9. Сформулируйте отрицания следующих предложений: а) Число 123 делится на 9; б) При делении числа 32 на 5 в остатке получится 7; в) 3+2
13. Сформулируйте предложения, которые начинаются словами «неверно, что» и имеют тот же смысл, что и данные: а) Прямые АВ и СД не параллельны и не пересекаются; б) Стороны четырехугольника АВСД не параллельны или не равны; в) Существуют уравнения, не имеющие действительных корней; г) Все прямоугольники не имеют равных смежных сторон.
14. Постройте отрицания следующих высказываний и выясните, что истинно – данное высказывание или его отрицание: а) Произведение чисел 4070 и 8 меньше, чем сумма чисел 18396 и 14174; б) Частное чисел 25842 и 6 меньше разности чисел 14150 и 9833; в) Среди различных прямоугольников есть такие, площади которых равны; г) Среди чисел есть такие, которые делятся на 5 и на 7; д) Существуют числовые выражения, значения которых нельзя найти.
1. Какие из нижеприведенных предложений являются отрицанием высказывания «Все натуральные числа кратны 5»; свой выбор обоснуйте: а) Все натуральные числа не кратны 5; б) Существуют натуральные числа, не кратные 5; в) Существуют натуральные числа, кратные 5; г) Неверно, что все натуральные числа кратны 5; д) Не все натуральные числа кратны 5.
2. Постройте двумя способами отрицание высказывания: а) Всякое свойство квадрата присуще прямоугольнику; б) Некоторые простые числа являются четными.
3. Известно, что объект Х обладает свойствами a, b, d. Что означает отрицание этого высказывания?
4. Постройте отрицания следующих высказываний: а) существует натуральное число, не делящиеся на 2; б) для любого натурального числа а найдется такое натуральное число, на которое не делится а; в) для любых двух натуральных чисел а, в справедливо одно и только одно из отношений а >в, в > а; г) существуют две непараллельные прямые; д) у всех прямоугольников все углы прямые; е) ни для какого натурального числа а не найдется натуральное число в такое, что а + в
Последнее изменение этой страницы: 2016-12-28; Нарушение авторского права страницы
Зачет по информатике для 12 групп
Количество зачетов – 1.
Дата сдачи – согласно расписания.
На отметку «удовлетворительно» необходимо оформить в отдельной тетради по информатике ответы на контрольные вопросы по всем темам за курс.
На отметку «хорошо» необходимо выполнить условия «удовлетворительной отметки» и не менее 50% дополнительных заданий.
На отметку «отлично» необходимо выполнить условия «удовлетворительной отметки» и не менее 75% дополнительных заданий.
Глава 1. Алгебра логики. Теория множеств.
1.1 Понятие множества и элемента множества.
1.2 Способы задания множеств.
1.3 Отношения между множествами.
1.4 Пересечение множеств.
1.5 Объединение множеств.
1.6. Свойства пересечения и объединения множеств.
1.7. Вычитание множеств. Дополнение множества.
1.8 Разбиение множества на классы
Глава 2. Алгебра логики. Высказывания.
2.1 Высказывания и высказывательные формы.
2.2.Элементарные функции алгебры логики.
2.3.Элементарные функции от двух переменных.
2.4.Зконы алгебры логики.
2.5 Высказывания с кванторами.
ГЛАВА1. УРОК 1. Понятие множества и элемента множества.
1.Назовите по три элемента множества: учебных предметов; четных натуральных чисел; четырехугольников.
2.М – множество точек окружности, изображенной на рисунке. Прочитайте следующие предложения и укажите среди них верные: а) А 
М; б) O M; в) В М; г) C 
M. Как изменить условие задачи, чтобы все утверждения верными?
3.Запишите с помощью знаков и , какие из отрезков АВ, СD, ЕF и РН проходят через точку М, а какие через нее не проходят.
4.Р — множество натуральных чисел, больших 7 и меньше 14. Выясните, какие из чисел 13, 10, 5, 7, 14 ему принадлежат, а какие не принадлежат. Ответ запишите, используя знаки и .
5.Даны числа: 0; 7; — 3,8; — 17; 325; 
; — 0,64; 
. Установите, какие из них: натуральные; целые; рациональные; действительные.
6.Приведите по два примера натуральных, целых, рациональных и иррациональных чисел.
7.Запишите множество букв в слове «математика» и множество цифр в записи числа 5125353.
ГЛАВА1. УРОК 2. Способы задания множеств.
1. Запишите с помощью знака равенства и фигурных скобок предложения:
а) X — множество чисел 0,1,2, 3, 4, 5; б) Y — множество букв а, Ь, с.
2. Запишите, используя символы, множество Р, если оно состоит из натуральных чисел:
а) больших 100, но меньших 200; б) меньших 150.
3. Перечислите элементы следующих множеств:
А — четные однозначные числа; В — натуральные числа меньшие 20; С — двузначные числа, делящиеся на 10.
4. Укажите характеристическое свойство элементов множества:
5. Изобразите на координатной прямой множество решений неравенства, если x — действительное число:
а) x>5; б)x 10; в) в любом прямоугольнике противоположные стороны равны;
г) (12-х)- 4 = 24; д) среди четырехугольников есть такие, у которых все стороны равны; е) число 2 — двузначное;
ж) произведение 4070 и 8 меньше, чем сумма 18396 и 14174; з) число 6 является корнем уравнениях) • 4 = 24.
2. Какие предложения из упражнения 1 являются высказывательными формами? Подставьте в них значение переменной так, чтобы получилось: а) истинное высказывание; б) ложное высказывание.
3. Можно ли считать высказывательными формами следующие записи:
а) х2- — 2х; б) 4х + 2у; в)7.4 + 2 = 30; г)7.4 + 2 2; б)х 0; г)
xQ, x+3
З
АКОНЫ ДЕ МОРГАНА. 
ЗАКОНЫ ЗАМЕНЫ ИМПЛИКАЦИИ. 
З
АКОНЫ ЗАМЕНЫ ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ. 
Высказывания с кванторами.
Мы выяснили, что среди математических предложений есть высказывания и высказывательные формы. Для того, чтобы высказывательную форму преобразовать в высказывание, достаточно вместо каждой из переменных, входящих в форму, подставить ее значение. Однако существуют и другие способы получения высказываний из высказывательных форм.
Определение: Выражение «для всякого х» в логике называется квантором общности по переменной х и обозначается символом 
х. Запись х, (А(х)) означает: «для всякого значения х предложение А(х) — истинное высказывание».
Определение: Выражение «существует х такое, что . » в логике называется квантором существования по переменной х и обозначается символом 
х. Запись х, (А(х)) означает: «существует такое значение х, что А(х) -истинное высказывание».
Замечание : Если задана одноместная высказывательная форма А(х), то чтобы превратить ее в высказывание, достаточно связать квантором общности или существования содержащуюся в ней переменную. Заметим, что в математике наряду со словом «всякий» употребляют слова «каждый», «любой», а со словом «существует» используют слова «некоторые», «найдется», «есть», «хотя бы один».
Задача 1. Установить, истинны или ложны следующие высказывания:
а) х
<0, 1, 4>, значение выражения (4 — х):(2х + 1) есть число целое. – ИСТИННО.
Действительно, чтобы убедиться в истинности данного высказывания, достаточно показать, что при подстановке каждого числа из множества <0, 1, 4>в выражение (4-х):(2х + 1) получается целое число. Пусть х = 0, тогда (4-0):(2-0 + 1) = 4; если х = 1,то (4-1):(2-1 + 1) = 1; если х = 4,то (4-4):(2-4 + 1) = 0.
б) Произведение двух любых последовательных натуральных чисел кратно 2.
Докажем методом математической индукции.
– Пусть x = 1, тогда x*(x+1) = 1*2 = 2 – кратно 2.
– Пусть x = n, и пусть выражение n*(n+1) тоже кратно 2.
– Пусть x = n+1. Покажем истинность утверждения. (n+1)(n+2) = n 2 +3n+2 = (n 2 +n)+(2n+2) = (n*(n+1))+(2(n+1)). n*(n+1) кратно 2 согласно вышеописанному. 2(n+1) – кратно 2, и это очевидно. сумма кратных чисел также кратно. Что и требовалось доказать.
в) Всякое натуральное число делится на 5. – ЛОЖНОЕ.
Убедиться в этом можно, назвав натуральное число, которое не делится на 5, например число 12.
Утверждение 1: Истинность высказывания с квантором общности устанавливается путем доказательства. Показать ложность таких высказываний можно, приведя контрпример.
Задача 2. Установить, истинны или ложны следующие высказывания:
а) Среди треугольников есть прямоугольные. – ИСТИННО.
Чтобы убедиться в истинности такого высказывания, достаточно привести пример. В данном случае прямоугольный треугольник можно начертить.
б) Некоторые прямоугольные треугольники являются равносторонними. – ЛОЖНО.
Если треугольник прямоугольный, то в нем один угол равен 90°, а в равностороннем все углы 60°. Следовательно, ни один прямоугольный треугольник не может быть равносторонним. Поэтому данное высказывание ложное.
Утверждение 2: Истинность высказывания с квантором существования устанавливается при помощи конкретного примера. Чтобы убедиться в ложности такого высказывания, необходимо провести доказательство.
1. Выделите квантор и высказывательную форму в высказываниях: «всякий прямоугольник является четырехугольником», «хотя бы одно из чисел первого десятка составное» Переформулируйте высказывания, заменив квантор его синонимом.
3. Прочтите следующие записи, заменив символические обозначения кванторов общности и существования их словесными выражениями: а)xR,x 2 -1=(x-1)(x+1); б)yZ, 5-y=5; в)xZ, y+3>0; г)xQ, x+3 2 + Ьх + с = 0 имеет хотя бы один корень.
5. Запишите, используя символы, следующие высказывания и определите их значения истинности: а) Всякое число, умноженное на нуль, есть нуль; б) Произведение любого числа и единицы равно этому числу; в) При делении нуля на любое другое число получается нуль; г) Квадрат любого числа неотрицателен.
6. Установите, какие из высказываний истинны, а какие ложны. а)При делении некоторых натуральных чисел на 5, в остатке получается 7; б)существуют числовые выражения, значения которых нельзя найти; в) во всяком четырехугольнике диагонали равны
7. Докажите или опровергните высказывания: а) существуют уравнения, множество решений которых пусто; б) Сумма двух четных чисел есть число четное; в) Всякое целое число является натуральным; г) Хотя бы одно натуральное число является решением уравнения х=2.
8. Приведите по три утверждения высказываний с квантором общности и по три утверждения с квантором существования из курса алгебры и геометрии. Докажите или опровергните эти утверждения.