Здравствуйте!
Объясните, пожалуйста, как находится производная sin x – cos x.
Спасибо!
Задание.
Чему равна производная sin x — cos x?
Решение.
Производную от тригоном-ческих ф-ций находят по таким же правилам, как и от иных функций. При вычислении производной можно использовать таблицу произв-ных и правила (а также формулы) их нахождения.
Рассмотрим выражение из условия более подробно. Оно включает разность двух ф-ций, одна из которых — это ф-ция синус от х, а вторая — ф-ция косинус также от переменной х.
Для нахождения производной от разности ф-ций будем использовать формулу, по которой такая произв-ная равняется разности произв-ных обоих членов. Запишем:
Теперь можно использовать таблицу произв-ных и вычислить значение каждой произв-ной полученного выражения отдельно.
Первая произв-ная от синуса х согласно таблице равна косинусу того же аргумента.
Вторая произв-ная от ф-ции cos от х по этой же таблице равна cos с противоположным знаком от х. Получаем следующий результат:
В результате проведенных вычислений было получено:
Ответ. 
.
Решая больше подобных задач, такое подробное описание не понадобиться и решение производных (таких простых) будет занимать одну строку.
Производная по переменной x от синуса x равна косинусу x:
( sin x )′ = cos x .
Доказательство
Для вывода формулы производной синуса, мы воспользуемся определением производной:
.
Чтобы найти этот предел, нам нужно преобразовать выражение таким образом, чтобы свести его к известным законам, свойствам и правилам. Для этого нам нужно знать четыре свойства.
1) Значение первого замечательного предела:
(1) ;
2) Непрерывность функции косинус:
(2) ;
3) Тригонометрические формулы. Нам понадобится следующая формула:
(3) ;
4) Арифметические свойства предела функции:
Если и , то
(4) .
Применяем эти правила к нашему пределу. Сначала преобразуем алгебраическое выражение
.
Для этого применим формулу
(3) .
В нашем случае
; . Тогда
;
;
;
.
Теперь сделаем подстановку . При , . Применим первый замечательный предел (1):
.
Сделаем такую же подстановку и используем свойство непрерывности (2):
.
Поскольку пределы, вычисленные выше, существуют, то применяем свойство (4):
.
Формула производной синуса доказана.
Примеры
Рассмотрим простые примеры нахождения производных от функций, содержащих синус. Мы найдем производные от следующих функций:
y = sin 2x; y = sin 2 x и y = sin 3 x .
Пример 1
Найти производную от sin 2x.
Сначала найдем производную от самой простой части:
( 2x )′ = 2( x )′ = 2 · 1 = 2.
Применяем формулу производной сложной функции.
.
Здесь .
( sin 2x )′ = 2 cos 2x.
Пример 2
Найти производную от синуса в квадрате:
y = sin 2 x .
Перепишем исходную функцию в более понятном виде:
.
Найдем производную от самой простой части:
.
Применяем формулу производной сложной функции.
.
Здесь .
Можно применить одну из формул тригонометрии. Тогда
.
Пример 3
Найти производную от синуса в кубе:
y = sin 3 x .
Производные высших порядков
Заметим, что производную от sin x первого порядка можно выразить через синус следующим образом:
.
Найдем производную второго порядка, используя формулу производной сложной функции:
.
Здесь .
Теперь мы можем заметить, что дифференцирование sin x приводит к увеличению его аргумента на . Тогда производная n-го порядка имеет вид:
(5) .
Докажем это, применяя метод математической индукции.
Мы уже проверили, что при , формула (5) справедлива.
Предположим, что формула (5) справедлива при некотором значении . Докажем, что из этого следует, что формула (5) выполняется для .
Выпишем формулу (5) при :
.
Дифференцируем это уравнение, применяя правило дифференцирования сложной функции:
.
Здесь .
Итак, мы нашли:
.
Если подставить , то эта формула примет вид (5).
Автор: Олег Одинцов . Опубликовано: 04-03-2017
Правила дифференцирования.
Чтобы найти производную от любой функции, надо освоить всего три понятия:
2. Правила дифференцирования.
3. Производная сложной функции.
Именно в таком порядке. Это намёк.)
Разумеется, неплохо бы ещё иметь представление о производной вообще). О том, что такое производная, и как работать с таблицей производных – доступно рассказано в предыдущем уроке. Здесь же мы займёмся правилами дифференцирования.
Дифференцирование – это операция нахождения производной. Более за этим термином ничего не кроется. Т.е. выражения "найти производную функции" и "продифференцировать функцию" – это одно и то же.
Выражение "правила дифференцирования" относится к нахождению производной от арифметических операций. Такое понимание очень помогает избежать каши в голове.
Сосредоточимся и вспомним все-все-все арифметические операции. Их четыре). Сложение (сумма), вычитание (разность), умножение (произведение) и деление (частное). Вот они, правила дифференцирования:
| Действие | Производная | |
| 1 | Производная суммы | (U+V)’ = U’+V’ |
| 2 | Производная разности | (U-V)’ = U’- V’ |
| 3 | Производная произведения | (U·V)’ = U’·V +U·V’ |
| 4 | Производная от произведения на постоянное число | (C·V)’ = CV’ |
| 5 | Производная частного |  |
В табличке приведено пять правил на четыре арифметических действия. Я не обсчитался.) Просто правило 4 – это элементарное следствие из правила 3. Но оно настолько популярно, что имеет смысл записать (и запомнить!) его как самостоятельную формулу.
Под обозначениями U и V подразумеваются какие-то (совершенно любые!) функции U(x) и V(x).
Рассмотрим несколько примеров. Сначала – самые простые.
Найти производную функции y=sinx – x 2
Здесь мы имеем разность двух элементарных функций. Применяем правило 2. Будем считать, что sinx – это функция U, а x 2 – функция V. Имеем полное право написать:
y’ = (sinx – x 2 )’ = (sinx)’- (x 2 )’
Уже лучше, правда?) Осталось найти производные от синуса и квадрата икса. Для этого существует таблица производных. Просто ищем в таблице нужные нам функции (sinx и x 2 ), смотрим, какие у них производные и записываем ответ:
y’ = (sinx)’ – (x 2 )’ = cosx – 2x
Вот и все дела. Правило 1 дифференцирования суммы работает точно так же.
А если у нас несколько слагаемых? Ничего страшного.) Разбиваем функцию на слагаемые и ищем производную от каждого слагаемого независимо от остальных. Например:
Найти производную функции y=sinx – x 2 +cosx – x +3
y’ = (sinx)’ – (x 2 )’ + (cosx)’ – (x)’ + (3)’
Опять лезем в таблицу, находим там производные синуса, квадрата икса, косинуса, чистого икса и тройки. Что, тройки нет в таблице!? Ну да.) Тройка – постоянная величина, в таблице обозначена буквой "С". Производная любой постоянной величины равна нулю. Можно сразу записать ответ:
y’ = cosx – 2x – sinx – 1
Как видим, первые два правила дифференцирования просты и безотказны.)
Переходим к примерам на правило 3. Производная произведения чуть посложнее, да. ) Главное здесь – увидеть в исходной функции, что взять за U, а что – за V. Например:
Найти производную функции y=sinx · cosx.
Здесь всё очевидно. sinx – это U, cosx – это V. Пишем прямо по правилу:
y’ = (sinx)’ ·cosx + sinx · (cosx)’ = cosx·cosx – sinx·sinx = cos 2 x – sin 2 x
Вот здесь, частенько, возникает вопрос: оставить результат, как есть, или преобразовывать и упрощать дальше? Ответ зависит исключительно от задания и пожеланий преподавателя.) Производную мы уже нашли. Обычно, если упрощение простое и очевидное, его нужно сделать. В нашем случае получилась формула косинуса двойного угла. Можно написать ответ:
y’ = cos 2 x – sin 2 x = cos2x
Рассмотрим следствие из правила 3, т.е. правило 4. Эта формула получается прямо из производной для умножения функций. Если y=CU, где С – какое-то постоянное число, а U – любая функция, то:
Словами говорят, что постоянную можно вынести из под знака производной.
Это маленькая, но очень полезная формулка. Позволяет делать кучу действий в уме. Например, по этому правилу все производные от выражений, типа 5х, 3,4х, -2х и так далее, сразу же превращаются в постоянные числа:
Ну, вы поняли.) Пример посложнее:
Найти производную функции y=5sinx – 3x 2 .
Если расписывать подробно, получится вот так:
y’ = (5sinx – 3x 2 )’ = (5sinx)’- (3x 2 )’
В скобках – произведения функций (постоянное число – тоже функция!). К первой и второй скобкам надо бы использовать правило 3, но сокращённый вариант (правило 4) – куда приятнее! Просто выносим числа за знак производной:
Далее находим в таблице значения производных и результат просто умножаем на эти числа:
y’ = 5(sinx)’- 3(x 2 )’ = 5cosx – 3·2x = 5cosx – 6x
Переходим к производной частного. Правило 5 – самое злое, да. ) Расписывать да считать подольше приходится. Но. тут уж ничего не поделаешь. Против законов математики протестовать глупо.) Хотя, в качестве бонуса, помогу.) Расскажу, чуть ниже, о случаях, когда эту формулу применять не надо. Так как есть более простые варианты. А сейчас – пример:
Найти производную функции
Расписываю по правилу 5. Подробно, со всеми скобочками и штрихами:
Берём производные (они табличные) в правой части:
Приводим к приличному виду:
Если требуется дальнейшее упрощение, можно в числителе вынести икс за скобки и сократить с иксом в знаменателе. Получим ответ:
Вот мы и рассмотрели, как находить производные функций с помощью правил дифференцирования.
Разумеется, сумма, разность, частное и произведение могут комбинироваться в самых разных сочетаниях. Например:
Здесь под функцией U скрывается выражение (x 2 +2), а под функцией V – выражение (x 3 -4). Расписываем прямо по правилу:
Теперь нужно довести дело до конца, т.е. вычислить производные от скобок. Штрих поставить – не означает "взять производную". ) В первых скобках будет сумма функций:
(x 2 +2)’ = (x 2 )’ + 2′ = 2x
Во вторых – разность функций:
Можно записать ответ:
Упрощаем, т.е. перемножаем и приводим подобные:
Вот и всё. Достаточно производную от злой функции расписать подробно, со всеми скобочками и штрихами, по подходящему правилу. Затем последовательно брать производные от скобочек. Всё и получится.
Всё просто, но. могут случиться и сюрпризы. Попадётся, например, вот такое задание:
Найти производную функции y=x 3 · sinx · cosx.
Здесь у нас умножаются три функции. Нет подходящего правила. Ничего страшного. Нас спасут. скобочки!) Мы вправе превратить умножение трёх функций в произведение двух, чтобы правило 3 в дело запустить. Просто возьмём за U и V то, что нам нужно. Например, пусть
Выделим эти U и V скобочками в исходной функции:
Скобки никак не меняют исходную функцию, можно брать производную по правилу 3:
Теперь видно, что в скобках (x 3 · sinx)‘ у нас опять произведение функций. Но уже двух, что попроще.) Можно расписать производную этих скобок отдельно. Теперь за U у нас пойдёт x 3 , а за V – sinx:
(x 3 · sinx)’ = (x 3 )’ · sinx +x 3 · (sinx)’= 3x 2 · sinx + x 3 · cosx
Вот практически и всё. Возвращаемся к исходной функции и вставляем наш результат промежуточного дифференцирования на своё место. Сразу же и производную от косинуса во втором слагаемом возьмём:
Производную нашли. Если требуется, перемножаем скобки и записываем ответ:
y’= 3x 2 · sinx · cosx + x 3 · cos 2 x – x 3 · sin 2 x
Замечу, что в этом примере U и V можно было выбрать по другому. За U взять x 3 , а за V – sinx · cosx. Это без разницы. Результат будет тот же самый.
Теперь – заслуженный бонус к правилу 5. В примерах постоянно приходится дифференцировать дроби. Что огорчает.) Но, если в знаменателе дроби – постоянное число, правила 5 можно избежать! Действия с дробями гласят, что деление можно заменить на умножение. Вот так:
Это даёт возможность вместо правила 5 использовать куда более простое и удобное правило 4. Например:
Найти производную функции:
В процессе дифференцирования слегка преобразуем исходную функцию. Превратим деление в умножение:
Вот так. Арифметика из младших классов ещё никому не мешала!)
Кстати, преобразование исходной функции перед дифференцированием вполне возможно и, иногда, очень помогает. Скажем, производная от функции:
берётся достаточно хлопотно. Таблицы производных и правил дифференцирования здесь недостаточно. Это сложная функция. Но если её преобразовать до дифференцирования, пример решается в уме. Как это сделать, написано в предыдущем уроке, пример № 3.
В конце урока дам советы по облегчению жизни при дифференцировании.)
1. Перед дифференцированием смотрим, нельзя ли упростить исходную функцию.
2. В замороченных примерах расписываем решение подробно, со всеми скобочками и штрихами.
3. При дифференцировании дробей с постоянным числом в знаменателе, превращаем деление в умножение и пользуемся правилом 4.
