Проверить принадлежит ли прямая плоскости

Предлагаю вам воспользоваться онлайн калькулятором чтобы найти уравнение плоскости.

Воспользовавшись онлайн калькулятором, вы получите детальное пошаговое решение вашей задачи, которое позволит понять алгоритм решения задач на составление уравнения плоскости и закрепить пройденный материал.

Найти уравнение плоскости

Выберите метод решения исходя из имеющихся в задаче данных:

В задаче известны:

Ввод данных в калькулятор для составления уравнения плоскости

В онлайн калькулятор вводить можно числа или дроби. Более подробно читайте в правилах ввода чисел.

Дополнительные возможности калькулятора для вычисления уравнения плоскости

• Используйте кнопки и на клавиатуре, для перемещения между полями калькулятора.

Теория. Уравнение плоскости.

Плоскость — поверхность, содержащая полностью каждую прямую, соединяющую любые её точки

В зависимости от условий задачи уравнение плоскости можно составить следующими способами:

Если заданы координаты трех точек A( x ₁, y ₁, z ₁), B( x ₂, y ₂, z ₂) и C( x ₃, y ₃, z ₃), лежащих на плоскости, то уравнение плоскости можно составить по следующей формуле

Если заданы координаты точки A( x ₁, y ₁, z ₁) лежащей на плоскости и вектор нормали n = , то уравнение плоскости можно составить по следующей формуле:

Вводить можно числа или дроби (-2.4, 5/7, . ). Более подробно читайте в правилах ввода чисел.

Основное уравнение плоскости:

где А, В, С, D – постоянные, причем А, В, С одновременно не равны нулю.

Уравнение плоскости в векторной форме:

где r – радиус вектор точки M(x,y,z) – принадлежащей плоскости, вектор N =(A,B,C) перпендикулярен плоскости(нормальный вектор)

Уравнение плоскости в отрезках(отсекаемых плоскостью на осях Ox, Оy, Оz)

Уравнение прямой в векторной форме:

где r0(x0,y0,z0) – точка через которую проходит прямая,

a(l,m,n) – направляющий вектор прямой.

Каноническое уравнение прямой в пространстве

Уравнение прямой по двум точкам r0(x0,y0,z0) и r1(x1,y1,z1):

Анализ взаимного расположения плоскости и прямой.

Прямая может принадлежать плоскости, быть ей параллельной или пересекать ее.

Для того, чтобы проверить принадлежит ли прямая плоскости, нам надо взять две точки на прямой и проверить, принадлежат подходят ли они в уравнение плоскости. Если да – то прямая принадлежит плоскости, в противном случае, нам надо постараться найти точку пересечения прямой и плоскости P (или определить, что они параллельны)

Зная уравнение плоскости, мы можем взять любые три точки A, B, C принадлежащие ей, не находящиеся на одной прямой. Возьмем любые не равные друг другу точки O, K, принадлежащие прямой.

Проверка пеерсекает ли пямая плоскость осуществляется через скаляроное произведение нормали к плоскости N и направляющего вектора вдоль прямой Rd. Склярное произведение этих двух нормализованных векторов есть косинус угла между векторами (cos (alpha) = (Rd,N) )

Далее приведены сами формулы требующиеся для рассчета:

(примечание, векторы обозначены большими буквами (или начинаются с большой буквы), скаляры – маленькими, векторное произведение векторов так: [ AB, BC ], скалярное произведение так: (AB, AC) ; модуль вектора-корень из суммы квадратов комтонетов-обозначен так | N | )

Найти два вектора лежащие в плоскости треугольника:

найти нормаль треугольников и нормализировать ее

найти вектор вдоль прямой и нормализовать его:

найти косинус угла между нормалью треугольника и прямой

cos( alpha) = (Rd, N) ;

Далее проверяем, если модуль косинус альфа >0.0001 значит есть пересечение с плоскостью, если модуль косинус альфа

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Лучшие изречения: На стипендию можно купить что-нибудь, но не больше. 9382 – | 7436 – или читать все.

Сформулируем условие принадлежности прямой плоскости как аксиомы:

Аксиома 1. Прямая принадлежит плоскости, если две её точки принадлежат этой плоскости.

Аксиома 2. Прямая принадлежит плоскости, если имеет с плоскостью одну общую точку и параллельна какой-либо прямой расположенной в этой плоскости.

Проиллюстрируем примерами использование этих аксиом.

Требуется найти недостающие проекции прямой m, если известно, что она принадлежит плоскости, заданной пересекающимися прямыми n и k.

Проекция прямой m₂ пересекает проекции прямых n₂ и k₂ в точках В₂ и С₂ соответственно. Для нахождения недостающих проекций прямой необходимо найти недостающие проекции точек В и С как точек, лежащих на прямых n и k соответственно.

Таким образом, точки В и С принадлежат плоскости, заданной пересекающимися прямыми n и k, а прямая m проходит через эти точки, значит, согласно аксиоме 1, прямая принадлежит этой плоскости.

Рисунок 53. Прямая и плоскость имеют две общие точки

а) модель		б) эпюр

Задача. Через точку В провести прямую m, если известно, что она принадлежит плоскости заданной пересекающимися прямыми n и k (рис. 5 4).

Пусть точка В принадлежит прямой n , лежащей в плоскости заданной пересекающимися прямыми n и k. Через проекцию В₂ проведем проекцию прямой m₂ параллельно прямой k₂ , для нахождения недостающих проекций прямой необходимо построить проекцию точки В₁, как точки лежащей на проекции прямой n₁ и через неё провести проекцию прямой m₁ параллельно проекции k₁ .

Таким образом, точка В принадлежит плоскости, заданной пересекающимися прямыми n и k, а прямая m проходит через эту точку и параллельна прямой k , значит согласно аксиоме 2 прямая принадлежит этой плоскости.