No Image

Смещение квадратичной функции по осям

СОДЕРЖАНИЕ
7 просмотров
11 марта 2020

Презентация к уроку

Загрузить презентацию (805,9 кБ)

Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.

Образовательная: исследовать смещение графика квадратичной функции, определить положение графика в зависимости от значений коэффициентов b, c.

Воспитательная: умение работать в группе, организованности.

Развивающая: навыки исследовательской работы, умение выдвигать гипотезы, анализировать полученные результаты, систематизировать полученные данные.

  • Организационный момент – 3 минуты.
  • Исследовательская работа – 20 минут.
  • Закрепление изученного материала – 15 минут.
  • Рефлексия – 2 минут.
  • Итог урока – 3 минуты.
  • Домашнее задание – 2 минуты.
  • Ход урока

    1. Организационный момент.

    Цель урока провести исследовательскую работу. Объектом исследования будут квадратичные функции разного вида. Вам предстоит определить, как влияют коэффициенты b, c на график функций вида y=x 2 +с, y=(x-b) 2 , y=(x-b) 2 +c.

    Для выполнения задания необходимо разделиться на группы (4 группы по 5 человек, одна группа “эксперты” наиболее подготовленные ученики).

    Каждая группа получает план исследования , лист формата А3 для оформления результатов.

    2. Исследовательская работа.

    Две группы (уровень А) исследуют функции вида y= x 2 +с, одна группа (уровень В) исследует функцию вида y=(x-b) 2 , одна группа (уровень С) исследует функцию y=(x-b) 2 +c. Группа “Экспертов” исследует все функции.

    Функция Результат
    1 группа у=x 2 +3;
    2 группа у=x 2 -5;
    3 группа у=(х-4) 2 ;
    4 группа у=(х-2) 2 +3.
    1. Для того чтобы выдвинуть гипотезу сделайте предположение, как может выглядеть ваша функция.
    2. Постройте график исследуемых функций (определите вершину параболы (х, y), задайте таблицей 4 точки).
    3. Сравните получившийся график с контрольным образцом y=x 2 .
    4. Сделайте вывод (как изменилось положение графика вашей функции относительно контрольного образца).
    5. Результаты оформите на листе формата А3 и представьте “экспертной” группе.

    “Экспертная” группа сверяет результаты свои с результатами остальных групп, систематизирует и обобщает результаты, выступает с выводами. В случае неточностей или ошибок учитель вносит коррекционные замечания.

    Сверка полученных результатов со слайдами №2-5.

    Любую квадратичную функцию y=ax 2 +bx+c, можно записать в виде y=a(x-x) 2 +y0, где x и y выражаются через коэффициенты a, b, c. Таким образом, ваши коэффициенты b=x, c=y являются координатами вершины параболы.

    3. Закрепление изученного материала.

    Фронтальная работа с классом.

    1. Найти ошибку в графиках функций (Слайды№6-9).

    y=(х+6) 2

    у=х 2 -2

    Коэффициент b

    Нет ошибки

    Рисунок 1

    Рисунок 2

    у=(х+5) 2 -1 у=(х-2) 2 +2 Коэффициент b и с Коэффициент b Рисунок 3 Рисунок 4

    Какой коэффициент вам помог найти ошибку?

    2. Соотнесите графики функций согласно цветам (слайд №10).

    y=(х-4) 2 -2 синий
    y=-x 2 +5 красный
    y=(x+1) 2 +3 зеленый
    y=(x-3) 2 фиолетовый

    4. Рефлексия.

    Группа “Экспертов” отвечают на вопросы:

    – Какие ошибки допустили группы?

    – Достигнута ли цель занятия?

    – Соответствуют ли полученные результаты исследования поставленной гипотезе?

    5. Итог урока (слайд №11):

    На положение графика функции y=(x-b) 2 +c влияют коэффициенты b и c,

    “+b” парабола сдвинута вправо по оси абсцисс на b единичных отрезков,

    “–b” парабола сдвинута влево по оси абсцисс на b единичных отрезков,

    “+с” парабола сдвинута вверх по оси ординат на с единичных отрезков,

    “-с” парабола сдвинута вниз по оси ординат на с единичных отрезков.

    Что такое парабола знают, пожалуй, все. А вот как ее правильно, грамотно использовать при решении различных практических задач, разберемся ниже.

    Сначала обозначим основные понятия, которые дает этому термину алгебра и геометрия. Рассмотрим все возможные виды этого графика.

    Узнаем все основные характеристики этой функции. Поймем основы построения кривой (геометрия). Научимся находить вершину, другие основные величины графика данного типа.

    Узнаем: как правильно строится искомая кривая по уравнению, на что надо обратить внимание. Посмотрим основное практическое применение этой уникальной величины в жизни человека.

    Что такое парабола и как она выглядит

    Алгебра: под этим термином понимается график квадратичной функции.

    Геометрия: это кривая второго порядка, имеющая ряд определенных особенностей:

    1. Любая прямая пересекает на плоскости искомую линию в 2-х точках – так называемые, «нули» (кроме основного экстремума графика).
    2. Множество точек плоскости ХОY (М), расстояние FM которых до F = расстоянию MN до прямой Где F – фокус, AN – директриса. Эти понятия рассмотрим ниже.
    Читайте также:  Как подключить cisco к интернету

    Каноническое уравнение параболы

    На рисунке изображена прямоугольная система координат (XOY), экстремум, направление ветвей чертежа функции вдоль оси абсцисс.

    Каноническое уравнение имеет вид:

    где коэффициент p – фокальный параметр параболы (AF).

    В алгебре оно запишется иначе:

    y = a x 2 + b x + c (узнаваемый шаблон: y = x 2 ).

    Свойства и график квадратичной функции

    Функция обладает осью симметрии и центром (экстремум). Область определения – все значения оси абсцисс.

    Область значений функции – (-∞, М) или (М, +∞) зависит от направления ветвей кривой. Параметр М тут означает величину функции в вершине линии.

    Как определить, куда направлены ветви параболы

    Чтобы найти направление кривой такого типа из выражения, нужно определить знак перед первым параметром алгебраического выражения. Если а ˃ 0, то они направлены вверх. Если наоборот – вниз.

    Как найти вершину параболы по формуле

    Нахождение экстремума является основным этапом при решении множества практических задач. Конечно, можно открыть специальные онлайн калькуляторы, но лучше это уметь делать самому.

    Как же ее определить? Есть специальная формула. Когда b не равно 0, надо искать координаты этой точки.

    Формулы нахождения вершины:

    Пример.

    Имеется функция у = 4 * x 2 + 16 * x – 25. Найдём вершины этой функции.

    Для такой линии:

    • х = -16 / (2 * 4) = -2;
    • y = 4 * 4 — 16 * 2 — 25 = 16 — 32 — 25 = -41.

    Получаем координаты вершины (-2, -41).

    Смещение параболы

    Классический случай, когда в квадратичной функции y = a x 2 + b x + c, второй и третий параметры равны 0, а = 1 – вершина находится в точке (0; 0).

    Движение по осям абсцисс или ординат обусловлено изменением параметров b и c соответственно. Сдвиг линии на плоскости будет осуществляться ровно на то количество единиц, чему равно значение параметра.

    Пример.

    Имеем: b = 2, c = 3.

    Это означает, что классический вид кривой сдвинется на 2 единичных отрезка по оси абсцисс и на 3 — по оси ординат.

    Как строить параболу по квадратному уравнению

    Школьникам важно усвоить, как правильно начертить параболу по заданным параметрам.

    Анализируя выражения и уравнения, можно увидеть следующее:

    1. Точка пересечения искомой линии с вектором ординат будет иметь значение, равное величине с.
    2. Все точки графика (по оси абсцисс) будут симметричны относительно основного экстремума функции.

    Кроме того, места пересечения с ОХ можно найти, зная дискриминант (D) такой функции:

    D = (b 2 — 4 * a * c).

    Для этого нужно приравнять выражение к нулю.

    Наличие корней параболы зависит от результата:

    • D ˃ 0, то х1, 2 = (-b ± D 0,5 ) / (2 * a);
    • D = 0, то х1, 2 = -b / (2 * a);
    • D ˂ 0, то нет точек пересечения с вектором ОХ.

    Получаем алгоритм построения параболы:

    • определить направление ветвей;
    • найти координаты вершины;
    • найти пересечение с осью ординат;
    • найти пересечение с осью абсцисс.

    Пример 1.

    Дана функция у = х 2 — 5 * х + 4. Необходимо построить параболу. Действуем по алгоритму:

    1. а = 1, следовательно, ветви направлены вверх;
    2. координаты экстремума: х = — (-5) / 2 = 5/2; y = (5/2) 2 — 5 * (5/2) + 4 = -15/4;
    3. с осью ординат пересекается в значении у = 4;
    4. найдем дискриминант: D = 25 — 16 = 9;
    5. ищем корни:
    • Х1 = (5 + 3) / 2 = 4; (4, 0);
    • Х2 = (5 — 3) / 2 = 1; (1, 0).

    По полученным точкам можно построить параболу.

    Пример 2.

    Для функции у = 3 * х 2 — 2 * х — 1 нужно построить параболу. Действуем по приведенному алгоритму:

    1. а = 3, следовательно, ветви направлены вверх;
    2. координаты экстремума: х = — (-2) / 2 * 3 = 1/3; y = 3 * (1/3) 2 — 2 * (1/3) — 1 = -4/3;
    3. с осью у будет пересекаться в значении у = -1;
    4. найдем дискриминант: D = 4 + 12 = 16. Значит корни:
    • Х1 = (2 + 4) / 6 = 1; (1;0);
    • Х2 = (2 — 4) / 6 = -1/3; (-1/3; 0).

    По полученным точкам можно построить параболу.

    Директриса, эксцентриситет, фокус параболы

    Исходя из канонического уравнения, фокус F имеет координаты (p/2, 0).

    Прямая АВ – директриса (своего рода хорда параболы определенной длины). Ее уравнение: х = -р/2.

    Эксцентриситет (константа) = 1.

    Заключение

    Мы рассмотрели тему, которую изучают школьники в средней школе. Теперь вы знаете, глядя на квадратичную функцию параболы, как найти её вершину, в какую сторону будут направлены ветви, есть ли смещение по осям, и, имея алгоритм построения, сможете начертить её график.

    Читайте также:  Highscreen zera s камера

    Хочешь подготовиться к ОГЭ или ЕГЭ по математике на отлично?

    Хочешь проверить свои силы и узнать результат насколько ты готов к ЕГЭ или ОГЭ?

    Важное замечание!
    Если вместо формул ты видишь абракадабру, почисти кэш. Как это сделать в твоем браузере написано здесь: «Как почистить кэш браузера».

    Чтобы понять то, что здесь будет написано, тебе нужно хорошо знать, что такое квадратичная функция, и с чем ее едят. Если ты считаешь себя профи по части квадратичных функций, добро пожаловать. Но если нет, тебе стоит прочитать тему «Квадратичная функция».

    Начнем с небольшой проверки:

    1. Как выглядит квадратичная функция в общем виде (формула)?
    2. Как называется график квадратичной функции?
    3. Как влияет старший коэффициент на график квадратичной функции?

    Если ты сходу смог ответить на эти вопросы, продолжай читать. Если хоть один вопрос вызвал затруднения, перейди по ссылке.

    Итак, ты уже умеешь обращаться с квадратичной функцией, анализировать ее график и строить график по точкам.

    Ну что же, вот она: .

    Давай вкратце вспомним, что делают коэффициенты.

    1. Старший коэффициент отвечает за «крутизну» параболы, или, по-другому, за ее ширину: чем больше , тем парабола у́же (круче), а чем меньше, тем парабола шире (более пологая).
    2. Свободный член – это координата пересечения параболы с осью ординат.
    3. А коэффициент каким-то образом отвечает за смещение параболы от центра координат. Вот об этом сейчас подробнее.

    С чего мы всегда начинаем строить параболу? Какая у нее есть отличительная точка?

    Это вершина. А как найти координаты вершины, помнишь?

    Абсцисса ищется по такой формуле:

    Вот так: чем больше , тем левее смещается вершина параболы.

    Ординату вершины можно найти, подставив в функцию:

    Подставь сам и посчитай. Что получилось?

    Если сделать все правильно и максимально упростить полученное выражение, получится:

    Получается, что чем больше по модулю, тем выше будет вершина параболы.

    Перейдем, наконец, к построению графика.
    Самый простой способ – строить параболу, начиная с вершины.

    Пример:

    Построить график функции .

    Решение:

    Для начала определим коэффициенты: .

    Теперь вычислим координаты вершины:

    А теперь вспоминаем: все параболы с одинаковым старшим коэффициентом выглядят одинаково. Значит, если мы построим параболу и переместим ее вершиной в точку , получится нужный нам график:

    Остается только один вопрос: как быстро рисовать параболу? Даже если мы рисуем параболу с вершиной в начале координат, все равно приходится строить ее по точкам, а это долго и неудобно. А ведь все параболы выглядят одинаково, может, есть способ ускорить их рисование?

    Когда я учился в школе, учительница математики сказала всем вырезать из картона трафарет в форме параболы, чтобы быстро ее чертить. Но с трафаретом везде ходить не получится, да и на экзамен его взять не разрешат. Значит, не будем пользоваться посторонними предметами, а будем искать закономерность.

    Рассмотрим простейшую параболу . Построим ее по точкам:

    Закономерность здесь такая. Если из вершины сместиться вправо (вдоль оси ) на , и вверх (вдоль оси ) на , то попадем в точку параболы. Дальше: если из этой точки сместиться вправо на и вверх на , снова попадем в точку параболы. Дальше: вправо на и вверх на . Дальше что? Вправо на и вверх на . И так далее: смещаемся на вправо, и на следующее нечетное число вверх. То же самое потом проделываем с левой веткой (ведь парабола симметрична, то есть ее ветви выглядят одинаково):

    Отлично, это поможет построить из вершины любую параболу со старшим коэффициентом, равным . Например, нам стало известно, что вершина параболы находится в точке . Построй (самостоятельно, на бумаге) эту параболу.

    Должно получиться так:

    Теперь соединяем полученные точки:

    ОК, ну что же, теперь строить только параболы с ?

    Конечно, нет. Сейчас разберемся, что с ними делать, если .

    Читайте также:  Стандартный ряд резисторов е24

    Рассмотрим несколько типичных случаев.

    То есть функция выглядит как . Ну что же здесь сложного? Просто переворачиваем параболу рогами вниз, и все.То есть, теперь будем двигаться так:

    • вправо – вниз
    • вправо – вниз
    • вправо – вниз
    • и т.д.

    И то же самое, только влево:

    Что делать, если, например, ?Все просто: начинаем так же: вправо, но когда дело доходит до «вверх», любое число увеличиваем в раза:

    • вправо – вверх
    • вправо – вверх
    • вправо – вверх
    • и т.д.

    Аналогично в случае :

    • вправо – вниз
    • вправо – вниз
    • вправо – вниз
    • и т.д.

    В общем случае так:

    • вправо – вверх
    • вправо – вверх
    • вправо – вверх
    • и т.д.

    Если , то вместо «вверх» делаем «вниз».

    А если ?
    Принцип тот же: каждый шаг вправо или влево сопровождается шагом вверх или вниз, равным какому-то нечетному числу, умноженному на . Но отмерять нецелые (дробные) отрезки всегда лень. Поэтому иногда удобнее сделать по-другому: шаг вправо или влево делать не , а . Тогда вверх/вниз придется смещаться на целые , , , , … клеток.

    Например: построим график . Будем откладывать:

    • вправо – вниз
    • вправо – вниз
    • вправо – вниз

    и затем то же самое влево.

    Отлично, параболу рисовать научились, давай теперь потренируемся на настоящих функциях.

    Итак, нарисуй графики таких функций:

    Ответы:

    Помнишь, что делать, если старший коэффициент меньше ?

    Смотрим на знаменатель дроби: он равен . Значит, будем двигаться так:

    • вправо – вверх
    • вправо – вверх
    • вправо – вверх

    Ой, а что с этим делать? Как отмерять клетки, если вершина где-то между линиями.

    А мы схитрим. Нарисуем сперва параболу, а уже потом переместим ее вершиной в точку . Даже нет, поступим еще хитрее: Нарисуем параболу, а потом переместим оси: – на вниз, а – на вправо:

    Этот прием очень удобен в случае любой параболы, запомни его.

    Рассмотрим еще один способ записи квадратичной функции: выделение полного квадрата. Этот способ был подробно описан в теме «Квадратные уравнения».

    Напомню, что мы можем представить функцию в таком виде:

    Что это нам дает?

    Дело в том, что число, которое вычитается из в скобках ( ) – это абсцисса вершины параболы, а слагаемое за скобками ( ) – ордината вершины.

    Это значит, что, построив параболу , нужно будет просто сместить ось на влево и ось на вниз.

    Пример: построим график функции .

    Выделим полный квадрат:

    Какое число вычитается из в скобках? Это (а не , как можно решить не подумав).

    Итак, строим параболу :

    Теперь смещаем ось на вниз, то есть на вверх:

    А теперь – на влево, то есть на вправо:

    Вот и все. Это то же самое, как переместить параболу вершиной из начала координат в точку , только прямые ось двигать намного легче, чем кривую параболу.

    Теперь, как обычно, сам:

    И не забывай стирать ластиком старые оси!

    Я в качестве ответов для проверки напишу тебе ординаты вершин этих парабол:

    Если да, то ты молодец! Уметь обращаться с параболой – очень важно и полезно, и здесь мы выяснили, что это совсем не трудно.

    ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКА КВАДРАТИЧНОЙ ФУНКЦИИ. КОРОТКО О ГЛАВНОМ

    Квадратичная функция – функция вида , где , и ­– любые числа (коэффициенты), – свободный член.

    График квадратичной функции – парабола .

    • Если коэффициент , ветви параболы направлены вниз, если 0"> – ветви параболы направлены вверх.
    • Чем больше значение (по модулю), тем у́же становится парабола (ветви становятся более крутыми). И наоборот, чем меньше , тем парабола шире.

    Вершина параболы:
    , т.е. чем больше displaystyle b , тем левее смещается вершина параболы.
    Подставляем в функцию , и получаем:
    , т.е. чем displaystyle b больше по модулю , тем выше будет вершина параболы

    Свободный член – это координата пересечения параболы с осью ординат.

    ОСТАВШИЕСЯ 2/3 СТАТЬИ ДОСТУПНЫ ТОЛЬКО УЧЕНИКАМ YOUCLEVER!

    Стать учеником YouClever,

    Подготовиться к ОГЭ или ЕГЭ по математике,

    А также получить доступ к учебнику YouClever без ограничений.

    Комментировать
    7 просмотров
    Комментариев нет, будьте первым кто его оставит

    Это интересно
    No Image Компьютеры
    0 комментариев
    No Image Компьютеры
    0 комментариев
    No Image Компьютеры
    0 комментариев
    No Image Компьютеры
    0 комментариев
    Adblock detector