No Image

Средняя арифметическая скорость молекул идеального газа

СОДЕРЖАНИЕ
12 просмотров
11 марта 2020

Степенями свободы характеризуется способность системы (в нашем случае молекулы) совершать независимые движения. В соответствии с видами механического движения различают поступательные, вращательные и колебательные степени свободы.

Числом степеней свободы механической системы называется количество независимых величин, однозначно определяющих ее положение и конфигурацию в пространстве.

Положение материальной точки в пространстве полностью определяется заданием всех ее координат, т.е. материальная точка обладает тремя степенями свободы. Если рассмотреть абсолютно твердое тело, то оно обладает тремя поступательными степенями свободы и тремя вращательными, т.е. положение абсолютно твердого тела определяется тремя координатами его центра масс и тремя координатами, определяется возможные вращения тела вокруг трех взаимно – перпендикулярных осей. Система из N материальных точек, между которыми нет жестких связей, обладает 3N степенями свободы, т.е. поступательными + вращательными + колебательными (колебания происходят вдоль связей). Любая жесткая связь, которая устанавливает неизменное расположение 2 точек, уменьшает число степеней свободы на единицу. Следовательно, число степеней свободы жесткой двухатомной молекулы равно 5, причем 3 из них поступательные, а 2 – вращательные. Опыт показывает, что вращение вдоль оси, проходящее через центры обоих атомов двухатомной молекулы, может быть возбуждено при очень высокой температуре, поэтому оно обычно не учитывается и это справедливо для большого диапазона температур.

Если атомы в молекулах не жестко связаны друг с другом, то они могут совершать колебания относительно друг друга. Таким образом, если молекула состоит из N атомов не жестко связанных друг с другом, то она имеет 3N степеней свободы, из которых 3 степени свободы поступательные, 3 – вращательные (за исключением случая, когда все атомы расположены на одной прямой, тогда вращательных степеней свободы только две), а остальные 3N-6 для нелинейной молекулы, или 3N-5 для линейной являются колебательными степенями свободы.

Например, для трехатомной молекул (в виде треугольника) с тремя жесткими связями будет 3х3-3=6 степеней свободы (из них 3 поступательные и 3 вращательные). Для той же молекулы с нежесткими связями будет 3х3=9 степеней свободы (из них 3 поступательные, 3 вращательные3 колебательные).

Закон равнораспределения по степеням свободы гласит, что если система молекул находится в состоянии теплового равновесия при температуре T, то средняя кинетическая работа равномерно распределена между всеми поступательными и вращательными степенями свободы и для каждой поступательной или вращательной степени она равна kT/2 , а энергия, приходящаяся на колебательную степень свободы, равна kT.

Если число степеней жесткой молекулы обозначить i , то ее средняя энергия будет ikT/2, а внутренняя энергия одного моля газа будет U= NAikT/2=iRT/2 (так как NAk=R). Следовательно,

(1)

(2)

Если молекула нежесткая, то при расчете число колебательных степеней свобода необходимо удвоить.

Трудности классической теории теплоемкости газов состоят в следующем. Из формул (1) и (2) следует, что молярные теплоемкости определяются лишь числом степеней свободы и не зависят от температуры. Это утверждение молекулярно-кинетической теории справедливо в довольно широком интервале температур лишь для одноатомных газов. Уже у двухатомных газов число степеней свободы, проявляющееся в теплоемкости, зависит от температуры. В общем случае, молекула двухатомного газа обладает тремя поступательными, двумя вращательными и одной колебательной степенями свободы.

Из качественной экспериментальной зависимости молярной теплоемкости водорода (рис.1) следует, что для него СV зависит от температуры: при низкой температуре (

Этим объясняется, что теплоемкость моля двухатомного газа (например, водорода при комнатной температуре равна 5/2R вместо 7/2R. Аналогично можно объяснить уменьшение теплоемкости при низкой температуре («замораживаются» вращательные степени свободы) и увеличение при высокой («возбуждаются» колебательные степени свободы).

Читайте также:  Хороший компилятор для c

В газе, находящемся в состоянии равновесия, устанавливается некоторое стационарное, не меняющееся со временем распределение молекул по скоростям (v), которое подчиняется определенному статистическому закону. Этот закон теоретически выведен Дж. Максвеллом. При его выводе Максвелл предполагал, что газ состоит из очень большого числа N тождественных молекул, находящихся в состоянии беспорядочного теплового движения при одинаковой температуре. Предполагалось также, что силовые поля, действующие на газ, отсутствуют. Закон Максвелла представлен в виде некоторой функцией f(v), называемой функцией распределения молекул по скоростям. Если разбить диапазон скоростей молекул на малые интервалы, равные dv, то на каждый интервал скорости будет приходиться некоторое число молекул dN(v), имеющих скорость, заключенную в этом интервале. Функция f(v) представляет собой отношение доли (относительного количества) молекул dN(v)/N, скорости которых лежат в интервале от v до v + dv, в величине этого интервала dv.

(1)

Применяя методы теории вероятности, Максвелл нашел функцию f(v), т.е. закон для распределения молекул идеального газа по скоростям:

(2)

Здесь mo – масса одной молекулы.

Из (2) видно, что конкретный вид функции зависит от рода газа (от массы молекулы) и температуры Т.

График функции распределения приведен на рис.1. Из графика следует, что функция распределения стремится к нулю при v®0 и v®¥ и проходит через максимум при некоторой скорости vв, называемой наиболее вероятной скоростью, причем этой скоростью и близкой к ней обладает наибольшее число молекул. Кривая несимметрична относительно vв. Площадь под данной кривой равна единице, т.е.

.

Значение наиболее вероятной скорости можно найти, продифференцировав выражение (2) по аргументу v и приравняв результат нулю, используя условие для максимума выражения f(v):

(3)

Из формулы (3) следует, что при повышении температуры (T2>T1) максимум функции распределения молекул по скоростям (рис.2) сместится вправо (значение наиболее вероятной скорости становится больше). Однако площадь, ограниченная кривой, остается неизменной, так как общее число молекул газа не зависит от температуры. Поэтому при повышении температуры кривая распределения молекул по скоростям будет растягиваться и понижаться.

В молекулярно-кинетической теории пользуются понятием средней арифметической скорости vа поступательного движения молекул идеального газа, вычисляемой из закона распределения:

(4)

(5)

Скорости, характеризующие состояние газа: 1) наиболее вероятная (3), средняя арифметическая (4) и средняя квадратичная (5), представлены на рис.1.

Можно ввести также распределение молекул идеального газа по энергиям определяет долю dN(e)/N из общего числа N молекул, которые имеют кинетические энергии e = mv 2 /2, заключенные в интервале от e до e + de:

где f(e) — функция распределения молекул по энергиям.

Определим в качестве примера среднюю кинетическую энергию молекулы идеального газа:

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Лучшие изречения: Студент – человек, постоянно откладывающий неизбежность. 10824 – | 7386 – или читать все.

91.146.8.87 © studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам | Обратная связь.

Отключите adBlock!
и обновите страницу (F5)

очень нужно

Найдём наиболее вероятную скорость, соответствующую максимуму функции распределения. Эта скорость определяется из условия

, т.е.

Проведя дифференцирование произведения функций, получим

Средняя скорость молекул (имеется в видусредняя арифметическая скорость) по определению из формулы статического усреднения

Читайте также:  Читай город скидки в ноябре

Средняя скорость входит в коэффициенты диффузии, вязкости, теплопроводности и, соответственно используется в расчётах этих процессов.

Среднеквадратичная скорость ;

, откуда

Эта скорость входит в основное уравнение молекулярно-кинетической теории. Качественно положение характерных (средних) скоростей показано на рис. 8.6

Проанализируем, как будет меняться ход кривой при изменении температуры газа. При увеличении температуры (или уменьшении массы молекулы) максимум кривой смещается вправо (из ) и становится ниже (площадь под кривойостаётся неизменной) (Рис. 8.7)

Атмосферное давление на высоте h обусловлено весом вышележащих слоёв газа. Давление на высоте h+dh будет P+dP (dh>0, dP

,

где – плотность газа на высоте, отсюда

При нормальных условиях воздух можно считать идеальным газом. Тогда

можно найти из уравнения состояния идеального газа , здесь

М – средняя масса моля воздуха. Плотность , подставим в (*), получим

. Поделим обе части на Р: . Возьмём интеграл от левой и правой частей:

.

Предел давление на уровнеh=0. Для случая, когда температура постоянная (изотермическая атмосфера), интегрируя, получим:

, отсюда получаем барометрическую формулу.

Графическая иллюстрация этой формулы на рис. 8.9 Давление убывает с высотой тем быстрее, чем тяжелее газ и чем ниже температура.

Распределение Больцмана

В барометрической формуле в отношении M/R разделим и числитель и знаменатель на число Авогадро .

, где

масса одной молекулы,

постоянная Больцмана.

Вместо Р и подставим соответственно.(см. лекцию №7), гдеплотность молекул на высотеh, плотность молекул на высоте.

Из барометрической формулы в результате подстановок и сокращений получим распределение концентрации молекул по высоте в поле силы тяжести Земли.

Из этой формулы следует, что с понижением температуры число частиц на высотах, отличных от нуля, убывает (рис. 8.10), обращаясь в 0 при Т=0 (при абсолютном нуле все молекулы расположились бы на поверхности Земли). При высоких температурах n слабо убывает с высотой, так

что молекулы оказываются распределёнными по высоте почти равномерно. Распределение молекул по высоте является результатом конкуренции между притяжением молекул к Земле и тепловым движением, стремящимся разбросать молекулы по всем высотам. На разной высоте молекула обладает различным запасом потенциальной энергии

.Следовательно, распределение молекул по высоте является и распределением их по значениям потенциальной энергии.

где плотность молекул в том месте пространства, где потенциальная энергия молекулы имеет значение;плотность молекул в том месте, где потенциальная энергия равна 0.

Больцман доказал, что распределение (*) справедливо не только в случае потенциального поля сил земного тяготения, но и в любом потенциальном поле сил для совокупности любых одинаковых частиц, находящихся в состоянии хаотического теплового движения.

Таким образом, закон Больцмана (*) даёт распределение частиц, находящихся в состоянии хаотического теплового движения, по значениям потенциальной энергии. (рис. 8.11)

Распределение Больцмана при дискретных уровнях энергии.

Полученное Больцманом распределение относится к случаям, когда молекулы находятся во внешнем поле и их потенциальная энергия может применяться непрерывно. Больцман обобщил полученный им закон на случай распределения, зависящего от внутренней энергии молекулы.

Известно, что величина внутренней энергии молекулы (или атома) Е может принимать лишь дискретный ряд дозволенных значений . В этом случае распределение Больцмана имеет вид:

,

где число частиц в состоянии с энергией;

коэффициент пропорциональности, который удовлетворяет условию

,

где N – полное число частиц в рассматриваемой системе.

Тогда и в результате для случая дискретных значений энергии распределение Больцмана

Читайте также:  Как перемещать фото в папке

Качественная иллюстрация этого распределения представлена на рис. 8.12. Это распределение характерно для состояния термодинамического равновесия.

Заметим, что в активных средах лазеров населённость уровней с большим значением энергии может быть выше, чем с меньшим. Это так называемая инверсная населённость уровней.

Но состояние системы в этом случае термодинамически неравновесное.

Распределение Максвелла и Больцмана можно объединить в один закон Максвелла-Больцмана, согласно которому число молекул, компоненты скорости которых лежат в пределах от до, а координаты в пределах отx, y, z до x+dx, y+dy, z+dz, равно

где ,плотность молекул в том месте пространства, где;;;полная механическая энергия частицы.

Распределение Максвелла-Больцмана устанавливает распределение молекул газа по координатам и скоростям при наличии произвольного потенциального силового поля.

Примечание: распределение Максвелла и Больцмана являются составными частями единого распределения, называемого распределением Гиббса (этот вопрос подробно рассматривается в спецкурсах по статической физике, и мы ограничимся только упоминанием этого факта).

Вопросы для самоконтроля.

Дайте определение вероятности.

Каков смысл функции распределения?

Каков смысл условия нормировки?

Запишите формулу для определения среднего значения результатов измерения величины x с помощью функции распределения.

Что представляет собой распределение Максвелла?

Что такое функция распределения Максвелла? Каков ее физический смысл?

Постройте график функции распределения Максвелла и укажите характерные особенности этой функции.

Укажите на графике наиболее вероятную скорость. Получите выражение для. Как изменяется графикпри повышении температуры?

Получите барометрическую формулу. Что она определяет?

Получите зависимость концентрации молекул газа в поле силы тяжести от высоты.

Запишите закон распределения Больцмана а) для молекул идеального газа в поле силы тяжести; б) для частиц массой m, находящихся в роторе центрифуги, вращающейся с угловой скоростью .

Объясните физический смысл распределения Максвелла-Больцмана.

Выведем формулу расчёта средней арифметической скорости (v’j. Пусть число молекул газа равно N, из них A N] молекул

имеют скорость в пределах от у/ до у2 = у2 + А у, а А N2 скорости в пределах от у2 до У; = у2 + /1 у и т. д., где А у малый интервал скоростей. Тогда среднее значение скорости молекул равно

где п – общее число интервалов скоростей.

3. Средняя арифметическая скорость

Отсюда следует, что скорости , v в, v кв отличаются друг от друга множителями, имеющих порядок единицы, причём средняя арифметическая скорость теплового движения молекул идеального газа по величине лежит между наиболее вероятной скоростью и средней квадратичной

Все рассмотренные скорости движения молекул вычисляются с помощью распределения Максвелла.

Распределение молекул идеального газа по кинетическим

энергиям определяет долю молекул кинетические энергии

которых заключены в интервале от W кин до W кин + d W кин. Кинетическая энергия W кин молекулы равна

Формула для функции распределения / (у) молекул газа по скоростям имеет вид

Аналогично, функция распределения молекул идеального кинетическим энергиям определяется формулой

подставив в формулу (6.40) значение d v из формулы (6.39) и сократив обе части уравнения на т ? v, получим

Формула (6.41) описывает функцию распределения молекул идеального газа по кинетическим энергиям. Из формулы следует, что распределение молекул по кинетической энергии не зависит от их массы и определяется только температурой газа Т. Поэтому формула (6.41) применима, как к газу, состоящему из одинаковых молекул, так и к смеси газов.

Средняя кинетическая энергия й)поступательного движения одной молекулы идеального газа равна

Комментировать
12 просмотров
Комментариев нет, будьте первым кто его оставит

Это интересно
No Image Компьютеры
0 комментариев
No Image Компьютеры
0 комментариев
No Image Компьютеры
0 комментариев
No Image Компьютеры
0 комментариев
Adblock detector