Средние величины в статистике дают обобщающую характеристику анализируемого явления. Самая распространенная из них – среднее арифметическое. Она применяется, когда агрегатный показатель образуется с помощью суммы элементов. Например, масса нескольких яблок, суммарная выручка за каждый день продаж и т.д. Но так бывает не всегда. Иногда агрегатный показатель образуется не в результате суммирования, а в результате умножения.
Такой пример. Месячная инфляция – это изменение уровня цен одного месяца по сравнению с предыдущим. Если известны показатели инфляции за каждый месяц, то как получить годовое значение? С точки зрения статистики – это цепной индекс, поэтому правильный ответ: с помощью перемножения месячных показателей инфляции. То есть общий показатель инфляции – это не сумма, а произведение. А как теперь узнать среднюю инфляцию за месяц, если имеется годовое значение? Нет, не разделить на 12, а извлечь корень 12-й степени (степень зависит от количества множителей). В общем случае среднее геометрическое рассчитывается по формуле:
То есть корень из произведения исходных данных, где степень определяется количеством множителей. Например, среднее геометрическое двух чисел – это квадратный корень из их произведения
Среднее геометрическое трех чисел – кубический корень из произведения
и т.д.
Если каждое исходное число заменить на их среднее геометрическое, то произведение даст тот же результат.
Чтобы лучше разобраться, чем отличаются среднее арифметическое и среднее геометрическое, рассмотрим следующий рисунок. Имеется прямоугольный треугольник, вписанный в круг.
Из прямого угла опущена медиана a (на середину гипотенузы). Также из прямого угла опущена высота b, которая в точке P делит гипотенузу на две части m и n. Т.к. гипотенуза – это диаметр описанного круга, а медиана – радиус, то очевидно, что длина медианы a – это среднее арифметическое из m и n.
Рассчитаем, чему равна высота b. В силу подобия треугольников АВP и BCP справедливо равенство
Значит, высота прямоугольного треугольника – это среднее геометрическое из отрезков, на которые она разбивает гипотенузу. Такое наглядное отличие.
В MS Excel среднюю геометрическую можно найти с помощью функции СРГЕОМ.
Все очень просто: вызвали функцию, указали диапазон и готово.
На практике этот показатель используют не так часто, как среднее арифметическое, но все же встречается. Например, есть такой индекс развития человеческого потенциала, с помощью которого сравнивают уровень жизни в разных странах. Он рассчитывается, как среднее геометрическое из нескольких индексов.
Ниже видео, как найти среднее геометрическое чисел в Excel.
Комбинаторика и вероятность
Ниже вы найдете основные формулы Excel, которые могут применяться при решении вероятностных задач и задач по комбинаторике.
| ЧИСЛКОМБ / COMBIN |
Выдает случайное число в интервале от 0 до 1 (равномерно распределенное).
Выдает случайное число в заданном интервале.
Вычисляет отдельное значение биномиального распределения.
Определяет гипергеометрическое распределение.
Вычисляет значение нормальной функции распределения.
Выдает обратное нормальное распределение.
Выдает стандартное нормальное интегральное распределение.
Выдает обратное значение стандартного нормального распределения.
Определяет вероятность того, что значение из диапазона находится внутри заданных пределов.
Математическая статистика
При решении задач по математической статистике можно использовать те формулы, что перечислены выше, а также следующие (сгруппированы для удобства: обработка выборки, разные распределения, остальные формулы):
Обработка выборки: формулы Excel
Вычисляет среднее абсолютных значений отклонений точек данных от среднего.
Вычисляет среднее арифметическое аргументов.
Вычисляет среднее геометрическое.
Вычисляет среднее гармоническое.
Определяет эксцесс множества данных.
Находит медиану заданных чисел.
Определяет значение моды множества данных.
Определяет квартиль множества данных.
Определяет асимметрию распределения.
Оценивает стандартное отклонение по выборке.
Оценивает дисперсию по выборке.
Законы распределений: формулы Excel
Определяет интегральную функцию плотности бета-вероятности.
Определяет обратную функцию к интегральной функции плотности бета-вероятности.
Вычисляет одностороннюю вероятность распределения хи-квадрат.
Вычисляет обратное значение односторонней вероятности распределения хи-квадрат.
Находит экспоненциальное распределение.
Находит F-распределение вероятности.
Определяет обратное значение для F-распределения вероятности.
Находит преобразование Фишера.
Находит обратное преобразование Фишера.
Находит обратное гамма-распределение.
Выдает распределение Пуассона.
Выдает t-распределение Стьюдента.
Выдает обратное t-распределение Стьюдента.
Выдает распределение Вейбулла.
Другое (корреляция, регрессия и т.п.)
Определяет доверительный интервал для среднего значения по генеральной совокупности.
Находит коэффициент корреляции между двумя множествами данных.
Подсчитывает количество чисел в списке аргументов.
Подсчитывает количество непустых ячеек, удовлетворяющих заданному условию внутри диапазона.
Определяет ковариацию, то есть среднее произведений отклонений для каждой пары точек.
Вычисляет значение линейного тренда.
Находит параметры линейного тренда.
Определяет коэффициент корреляции Пирсона.
Справочный файл по формулам Excel
Нужна шпаргалка по функциям Excel под рукой? Скачивайте файл: Математические и статистические формулы Excel
Полезные ссылки
А если у вас есть задачи, которые надо срочно сделать, а времени нет? Можете поискать готовые решения в решебнике:
Существуют несколько видов средних, которые используются в социально-экономической статистике. К их числу относятся: средняя арифметическая, средняя гармоническая, средняя геометрическая, степенная средняя, средняя хронологическая, а также структурные средние — мода, медиана.
Основная задача средней величины любого вида — показать типичный уровень признака изучаемой однородной совокупности при исключении влияния индивидуальных различий. Наиболее распространенным видом средних показателей в практике экономических расчетов является средняя арифметическая величина. Средняя арифметическая величина рассчитывается как частное от деления суммы индивидуальных значений признака на число единиц совокупности. Средняя арифметическая величина бывает простой и взвешенной.
Допустим, что заработная плата у 10 рабочих составляла в месяц (руб.): 3100, 3600, 4500, 4900, 5300, 5400, 5600, 5700, 5900, 6000. Размер заработной платы каждого из десяти рабочих зависит от многих факторов и является величиной индивидуальной и тем самым нс может дать представления об ее уровне по всей группе рабочих. Для этого надо определить средний уровень заработной платы. Суммируем заработную плату всех рабочих и полученный итог, представляющий собой фонд заработной платы, разделим на число рабочих. Это составит:
Среднемесячный размер заработной платы по группе рабочих составляет 5000 руб. Это средняя арифметическая величина простая, поскольку исчисляется простым суммированием индивидуальных значений признака и делением этой суммы на число значений.
Отдельные значения признака единицы статистической совокупности, отличные от значений его у других единиц (в нашем примере заработная плата каждого рабочего — 3100, 3600, 4500 и т.д.), в статистике принято называть вариантами и обозначать символом х(, где / может принимать любые значения от 1 до п. При наличии в совокупности п вариант последняя из них обозначается хп. В нашем примере п = 10, таким образом, х, = 3100, х2= 3600 и т.д., х|0= 6000. Величина средней варианты обозначается х , а знак суммы вариант — через Е.
Расчет средней арифметической простой можно записать в виде следующей формулы:
Для того чтобы использовать данную формулу в Excel, необходимо ввести исходные данные в таблицу, установить курсор в свободную ячейку и вызвать Мастер функций. В открывшемся диалоговом окне нужно выбрать категорию Статистические, функцию СРЗНАЧ (рис. 5.1).
Рис. 5.1. Диалоговое окно Мастер функций
В качестве диапазона значений следует указать ячейки, содержащие числовые данные. Щелчок по кнопке ОК завершит процесс вычислений. Среднее арифметическое значение будет отображено в выделенной ячейке. Более подробно процесс вычисления рассмотрен в приложении 7.
Средняя величина исчисляется по формуле средней арифметической простой тогда, когда значения вариант встречаются по одному или по одинаковому числу раз, т.е. когда повторяемость каждой варианты одинакова.
Если же отдельные значения признака повторяются неодинаковое число раз, то средняя величина определяется по формуле средней арифметической взвешенной. Для примера возьмем данные о заработной плате рабочих-сдельщиков, представленные в табл. 5.1.
Месячная заработная плата рабочих, руб.
