No Image

Теорема гаусса для вектора поляризованности

0 просмотров
11 марта 2020

Выделим внутри диэлектрика некоторый объем V, ограниченный поверхностью S. Подсчитаем, сколько заряда проходит через элемент dSвоображаемой поверхности, когда материал поляризуется. При появлении электрического поля положительные заряды молекул сместятся на некоторое расстояниевдоль поля, а отрицательные – в противоположном направлении. При этом каждая молекула приобретет дипольный момент, определяемый соотношением (5.3), причем вектор смещения будет направлен вдоль поля, а средняя длина вектора смещения l для диполей, находящихся в прилегающем к dS слою, будет согласно (5.4) связана с поляризацией этого слоя соотношением

(5.7)
Рис. 5.3 Элемент поверхности dS пересечет все те диполи, центры которых расположены в прилегающем к нему слое толщины l |cos α| , где α – угол между нормалью к dS и направлением вектора поляризованности (рис. 5.3). Объем этого слоя равен l |cos α|dS, а число пересекаемых элементом dSдиполей равно n l |cos α|dS.

Следовательно, для выбранного элемента поверхности соответствующая абсолютная величина нескомпенсированного заряда внутри объема Vравна

(5.8)

При этом, если cos α > 0, то снаружи от элемента dS находятся положительные заряды, а внутри – отрицательные, а если cos α

ρ’ = – (εoE∇κ + κρ)/(1+κ) (5.16)

Из последнего выражения видно, что объемная плотность связанного заряда в диэлектрике отлична от нуля в двух случаях: (1) когда диэлектрик поляризуется неоднородно (κ есть функция координаты) и/или (2) в диэлектрике присутствует сторонний заряд (ρ отлично от нуля). При однородной поляризации и отсутствии стороннего заряда внутри диэлектрика равенство нулю связанного объемного заряда легко усматривается из рис. 5.1.

Рис. 5.4 Рассмотрим границу раздела двух однородных изотропных диэлектриков 1 и 2 (рис. 5.4). Выделим мысленно на границе раздела цилиндр с площадью основания ΔS с образующей, перпендикулярной границе раздела. Выберем произвольно направление нормали nк границе,как показано на рисунке. Пусть площадка ΔS, вырезаемая цилиндром на границе,столь мала, что ее можно считать плоской, а поляризованность каждого из диэлектриков в ее пределах постоянной.
Читайте также:  Стилус apple pencil аналог

Найдем поток Ф вектора P через поверхность цилиндра. Поток через нижнее основание цилиндра равен P1·ΔS cos (P1,n1), а через верхнее P2·ΔScos (P2,n2), где индексами 1 и 2 обозначены величины, относящиеся соответственно к внутренней и внешней по отношению к нормалиnсторонам границы раздела. Поток через боковую поверхность цилиндра обозначим Ф’. Тогда будем иметь

(5.17)

Направление нормали n2 совпадает с направлением нормали n,а направление нормали n1прямо противоположно. Следовательно

P1·ΔS cos (P1,n1) = –P1n; P2·ΔS cos (P2,n2)=P2n ,

где P1n и P2n – проекции вектров P1иP2 на нормаль n. Таким образом

Будем теперь уменьшать высоту цилиндра, не изменяя при этом его основания. Поток Ф’ через безгранично уменьшающуюся боковую поверхность будет стремиться к нулю, так что общий поток через поверхность цилиндра сведется в пределе к потоку через его основания:

Для однородных диэлектриков объемный связанный заряд, как было показано выше, равен нулю. Стало быть внутри цилиндра окажется заряд, расположенный на границе раздела на элементе поверхности ΔS. Этот заряд равен ΔS ·σ’, где σ’ – поверхностная плотность связанного заряда на границе раздела диэлектриков. На основании теоремы Гаусса для вектора P запишем

(P2n – P1n ) = – σ’ (5.18)

Иными словами, на границе раздела нормальная составляющая вектора P испытывает разрыв, величина которого зависит от σ’. В частности, если среда 2 вакуум, то P2n= 0 и

Pn =σ’ (5.19)

где Pn проекция вектора Pна внешнюю нормаль к поверхности данного диэлектрика.

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Лучшие изречения: Сдача сессии и защита диплома – страшная бессонница, которая потом кажется страшным сном. 8921 – | 7229 – или читать все.

91.146.8.87 © studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам | Обратная связь.

Читайте также:  Для чего нужно вскрытие

Отключите adBlock!
и обновите страницу (F5)

очень нужно

Выделим внутри поляризованного диэлектрика физически бесконечно малый цилиндрический объем, образующая которого параллельна вектору поляризованности Р (рис. 2.6, а). Основаниями цилиндра являются две параллельные плоскости. Площади оснований цилиндра равны с/5, а его длина – 6. Рассмотрим молекулы, находящиеся в этом объеме. На рис. 2.6, а условно изображены семь таких молекул. В действительности физически бесконечно малый объем может содержать в себе очень большое число молекул. Вычислим их суммарный электрический момент.

Рис. 2.6. Вырезанный из поляризованного диэлектрика цилиндр подобен двум заряженным плоскостям

Внутри цилиндра положительные и отрицательные молекулярные заряды нейтрализуют друг друга. Поэтому объемная плотность связанных зарядов в однородно поляризованном диэлектрике в среднем равна нулю.

Нескомпенсированными остаются только связанные заряды на основаниях цилиндра (рис. 2.6,6). Их поверхностные плотности обозначим -а’ и +

Это равенство удобно записать в виде

Полученная формула устанавливает связь между вектором поляризованности диэлектрика и поверхностной плотностью связанных зарядов, находящихся на одной из сторон небольшой воображаемой поверхности dS, а именно на той ее стороне, по отношению к которой нормаль п является внешней.

Рис. 2.7. К выводу теоремы Гаусса для поляризованности

Построим внутри диэлектрика произвольную замкнутую поверхность 5, которая ограничивает некоторый объем V (рис. 2.7). Поверхностный связанный заряд на элементе поверхности площадью dS равен o’dS.

Согласно формуле (2.12) полный связанный заряд, распределенный на поверхности S и принадлежащий молекулам, которые находятся у ее внутренней стороны, выражается интегралом

т.е. равен потоку вектора поляризованности через поверхность 5 в направлении внешней нормали.

Поверхностный связанный заряд Q’s и суммарный заряд Q’v молекул в объеме V, ограниченном поверхностью S, равны нулю при однородной поляризации диэлектрика. Если же диэлектрик поляризован неоднородно, объемный связанный заряд Q’v будет отличен от нуля, а его распределение в пространстве будет описываться функцией д’ = д'(г), которая называется объемной плотностью связанных зарядов. При этом объемный связанный заряд будет

Читайте также:  Включение смартфона без кнопки

Любая часть диэлектрика в целом нейтральна. Поэтому поверхностный связанный заряд Q’s должен быть равен по величине и противоположен по знаку объемному связанному заряду Qv:

Подставим в это равенство интегралы (2.13) и (2.14). Получим:

Это уравнение можно назвать теоремой Гаусса для вектора поляризованности. Согласно (2.16) поток вектора Р через произвольную замкнутую поверхность 5 в направлении внешней нормали равен с обратным знаком объемному связанному заряду внутри этой поверхности.

Преобразуем по теореме Остроградского – Гаусса поверхностный интеграл в равенстве (2.16) в интеграл по объему от дивергенции вектора

Два интеграла по произвольному объему равны друг другу тогда и только тогда, когда равны подынтегральные выражения:

Из этого уравнения следует, что если диэлектрик поляризован однородно, т.е. Р = const, то объемная плотность связанных зарядов равна нулю.

Ответ (вектор поляризованности и вектор поляризации — это одно и то же) :

Штрихи у заряда q´ и объемной плотности заряда ρ´ обозначают, что речь идет об избыточных СВЯЗАННЫХ зарядах (электрический диполь — пример связанных зарядов; любую молекулу в электростатике рассматривают, как электрический диполь, например, молекуа воды Н₂О — это диполь) .

Объемная плотность избыточных связанных зарядов ρ´ внутри диэлектрика равна нулю при ОДНОВРЕМЕННОМ выполнении двух условий:

✔ диэлектрик однородный (везде плотность молекул одинакова)

✔ внутри него нет сторонних зарядов (т. е. свободных, несвязанных в диполи) .

Комментировать
0 просмотров
Комментариев нет, будьте первым кто его оставит

Это интересно
No Image Компьютеры
0 комментариев
No Image Компьютеры
0 комментариев
No Image Компьютеры
0 комментариев
No Image Компьютеры
0 комментариев
Adblock detector