No Image

Теорема котельникова и ее применение

СОДЕРЖАНИЕ
1 просмотров
11 марта 2020

Лекция № 7.

Все реальные непрерывные сигналы являются плавными функциями времени. Скачки значений в них практически не наблюдаются. Поэтому такие сигналы можно представить последовательностью их значений, взятых с некоторым шагом по времени. Значение сигнала в фиксированный момент называется отсчетом.

На этом рисунке показан непрерывный сигнал и его отсчеты с различным шагом по времени. При малом шаге (рис. б) последовательность отсчетов достаточно точно описывает сигнал, а при большом шаге (рис. в) по отсчетам нельзя восстановит форму сигнала, так как пропущены его характерные экстремальные точки.

Как же часто следует брать отсчеты, чтобы по ним можно было полностью восстановить сигнал?

Ответ на этот вопрос дает теорема, доказанная в 1933 г. Советским ученым академиком В.А.Котельниковым. и названная его именем.

Согласно этой теореме любой непрерывный сигнал с конечным спектром (имеющим максимальное значение ) можно представить в виде дискретных отсчетов , частота дискретизации которых должна быть выбрана не менее чем в два раза выше максимального значения спектра сигнала:, передать его по линии связи, а затем восстановить исходный аналоговый сигнал.

Теорема Котельникова является основой для дискретизации непрерывных сигналов по времени, так как, во – первых, доказывает, что непрерывный сигнал можно заменить его дискретными значениями, во – вторых, дает правило вычисления шага дискретизации – . При таком шаге дискретизации ряд Котельникова дает точное временное представление сложного сигнала.

Физический смысл теоремы Котельникова.

Теорема Котельникова утверждает, что если требуется передать непрерывный сигнал с ограниченным спектром по каналу связи, то можно не передавать все его значения: достаточно лишь передать его мгновенные значения (отсчеты) через интервал . Поскольку сигнал полностью определяется этими значениями, то по ним он может быть восстановлен на приемном конце системы связи. Для этого достаточно соединить отсчеты плавной кривой. Это можно объяснить тем, что сигнал между отсчетами может изменяться только плавно, так как частоты выше дающие быстрые изменения, в сигнале отсутствуют. Ведь отсчеты берутся достаточно часто, и тем чаще, чем выше максимальная частота .

Практическое применение теоремы Котельникова.

Дискретизация сигнала осуществляется достаточно просто: периодически на короткое время через интервал ключом замыкается цепь от источника сигнала к нагрузке – получаем отсчеты . Далее эти отсчеты, пройдя через канал связи, поступают на вход идеального фильтра нижних частот (ФНЧ) с верхней частотой пропускания . На выходе фильтра получается исходный непрерывный сигнал .

Структурная схема системы связи с использованием теоремы Котельникова.

На передающей стороне берутся отсчеты сигнала в моменты . Далее отсчеты любым способом передаются по каналу связи. Идеальный ФНЧ на приемном конце восстанавливает исходный сигнал .

Частота следования импульсов, называемая также частотой дискретизации, определяется по теореме Котельникова:

.

Например, частота дискретизации для речевого (телефонного) сигнала, имеющего максимальное значение спектра сигнала , будет равна . Согласно рекомендациям МККТТ и, соответственно, .

Теорема Котельникова в многоканальной электросвязи.

Возможность передачи вместо непрерывных сигналов последовательности импульсов (отсчетов) позволяет осуществить временное разделение каналов. Дело в том, что при импульсной передаче период следования импульсов обычно намного больше их длительности, то есть импульсы имеют большую скважность – при большой скважности между импульсами одного сигнала остается промежуток, на котором можно разместить импульсы от других сигналов. Этот способ и называется временным разделением. В настоящее время уже реализованы многоканальные системы передачи с временным разделением каналов на 12, 15, 30, 120, 480, 1920 речевых сигналов.

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

В конце девятнадцатого начале двадцатого века бурно развивались средства телефонной и радиосвязи. В 1882 г. в Санкт Петербурге заработала первая в России телефонная станция. У этой станции было 259 абонентов. А в Москве примерно в это же время было 200 абонентов.

В 1896 г. Александр Попов передал на расстояние 250 метров первый сигнал по радио, состоявший всего из двух слов: "Генрих Герц".

Развитие средств связи было во главе технического прогресса. С тех пор прошло чуть более века, и благодаря работам ученых и инженеров этой отрасли мы видим, как изменился мир.

Мы не представляем нашей жизни без телефона, радиосвязи, телевидения и интернета. В основе этого лежит распространение электромагнитных волн, теорию которых разработал Джеймс Клерк Максвелл в середине девятнадцатого века. Электромагнитные волны являются носителем полезных сигналов, а в теории передачи сигналов основополагающее значение играет теорема российского ученого и инженера, академика Владимира Александровича Котельникова.

В науку она вошла под названием теорема Котельникова.

Владимир Александрович Котельников

Будущий академик родился в 1908 г. в семье преподавателей казанского университета. Учился в МВТУ им. Баумана, посещал интересующие его лекции в МГУ. В 1930 г. электротехнический факультет, на котором обучался Котельников, преобразовался в Московский энергетический институт, его Котельников и закончил. После окончания института он работал в различных вузах и лабораториях. Во время войны заведовал лабораторией закрытого НИИ в Уфе, где занимался вопросами защищенных каналов связи, кодировки сообщений.

Читайте также:  Что лучше датсун или лифан

Примерно такие разработки упоминаются у Солженицына в его романе "В круге первом".

Около сорока лет он заведовал кафедрой "Основы радиотехники", и был деканом радиотехнического факультета. В последствии стал директором института радиотехники и электроники АН СССР.

Все студенты соответствующих специальностей до сих пор учатся по учебнику Котельникова "Теоретические основы радиотехники".

Котельников также занимался проблемами радиоастрономии, радиофизическими исследованиями океанов, космическими исследованиями.

Свою последнюю работу "Модельная квантовая механика", написанную уже в почти в 97 лет, он не успел опубликовать. Она вышла только в 2008 г.

Скончался В. А. Котельников на 97-ом году жизни 11 февраля 2005 г. Он дважды герой социалистического труда, награжден множеством правительственных наград. В его честь названа одна из малых планет.

Теорема Котельникова

Развитие систем связи ставило множество теоретических вопросов. Например, сигналы какого диапазона частот можно передавать по каналам связи, разной физической структуры, с разной полосой пропускания, чтобы при приеме не потерять информации.

В 1933 году Котельников доказал свою теорему, которая иначе называется теорема отсчетов.

Формулировка теоремы Котельникова:

Если аналоговый сигнал имеет финитный (ограниченной по ширине) спектр, то он может быть восстановлен однозначно и без потерь по своим дискретным отсчетам, взятым с частотой, строго большей удвоенной верхней частоты.

Описывается идеальный случай, когда время длительности сигнала бесконечно. Он не имеет прерываний, но имеет ограниченный спектр (по теореме Котельникова). Однако математическая модель, описывающая сигналы с ограниченным спектром, на практике хорошо применима и к реальным сигналам.

На основании теоремы Котельникова может быть реализован способ дискретной передачи непрерывных сигналов.

Физический смысл теоремы

Теорему Котельникова простыми словами можно объяснить следующим образом. Если надо передать некий сигнал, то не обязательно передавать его целиком. Можно передавать его мгновенные импульсы. Частота передачи этих импульсов называется частотой дискретизации в теореме Котельникова. Она должна быть в два раза больше верхней частоты спектра сигнала. В этом случае на приемном конце сигнал восстанавливается без искажений.

О дискретизации теорема Котельникова делает очень важные выводы. Для разного типа сигналов существуют разные частоты дискретизации. Для речевого (телефонного) сообщения при ширине канала 3,4 кГц – 6,8 кГц, а для телевизионного сигнала – 16 мГц.

В теории связи существует несколько типов каналов связи. На физическом уровне – проводные, акустические, оптические, инфракрасные и радиоканалы. И хотя теорема разработана для идеального канала связи, она применима и для всех остальных типов каналов.

Многоканальная электросвязь

Теорема Котельникова лежит в основе многоканальной электросвязи. При дискретизации и передаче импульсов период между импульсами гораздо больше их длительности. Это значит, что в промежутках импульсов одного сигнала (это называется скважность) можно передавать импульсы другого сигнала. Были реализованы системы на 12, 15, 30, 120, 180, 1920 речевых каналов. То есть по одной паре проводов можно передать одновременно около 2000 телефонных разговоров.

На основании теоремы Котельникова, простыми словами можно сказать, возникли практически все современные системы связи.

Гарри Найквист

Как это иногда бывает в науке, ученые, занимающиеся подобными проблемами, приходят почти одновременно к одинаковым выводам. Это вполне закономерно. До сих пор не утихают споры, кто открыл закон сохранения – Ломоносов или Лавуазье, кто изобрел лампу накаливания – Яблочкин или Эдисон, кто изобрел радио – Попов или Маркони. Этот список можно продолжать без конца.

Так, американский физик шведского происхождения Гарри Найквист в 1927 г. в журнале "Определенные проблемы телеграфной передачи" опубликовал свои исследования с выводами как у Котельникова. Его теорему иногда называют теорема Котельникова-Найквиста.

Гарри Найквист родился в 1907 году, защитил диссертацию в Йельском университете, работал в лаборатории Белла. Там занимался проблемами теплового шума в усилителях, участвовал в разработке первого фототелеграфа. Его труды послужили основой для дальнейших разработок Клода Шеннона. Найквист скончался в 1976 г.

Клод Шеннон

Клода Шеннона иногда называют отцом информационного века – столь велик его вклад в теорию связи и информатики. Клод Шеннон родился в 1916 г. в США. Работал в лаборатории Белла и ряде американских университетов. Во время войны вместе с Аланом Тьюрингом занимался расшифровкой кодов немецких подводных лодок.

В 1948 г. в статье "Математическая теория связи" он предложил термин бит в качестве обозначения минимальной единицы информацию. Теорему, посвященную восстановлению сигнала по его дискретным отсчетам, он доказал (независимо от Котельникова) в 1949 году. Ее иногда называют теорема Котельникова-Шеннона. Правда на Западе больше принято наименование теорема Найквиста-Шеннона.

Шеннон ввел понятие энтропии в теорию связи. Занимался изучением кодов. Благодаря его работам, криптография стала полноценной наукой.

Котельников и криптография

Котельников тоже занимался проблемами кодов и криптографии. К сожалению, во времена СССР, все, что связано с кодами, шифрами, было строго засекречено. И открытых публикаций многих работ Котельникова быть не могло. Однако он работал над созданием закрытых каналов связи, коды которых противник взломать не мог.

Читайте также:  Батарейка меньше мизинчиковой как называется

18 июня 1941 года, практически перед самой войной, была написана статья Котельникова "Основные положения автоматической шифровки", опубликованная в сборнике 2006 г. "Квантовая криптография и теорема Котельникова об одноразовых ключах и отсчетах".

Помехоустойчивость

С помощью работы Котельникова была разработана теория потенциальной помехоустойчивости, которая определяет, какое максимальное количество помех может быть в канале связи, чтобы информация не была потеряна. Рассматривается вариант идеального приемника, который далек от реального. Но пути улучшения канала связи четко определены.

Космические исследования

Коллектив под руководством Котельникова внес большой вклад в системы космической связи, автоматики и телеметрии. Сергей Павлович Королев привлекал лабораторию Котельникова к решению проблем космической отрасли.

Были построены десятки контрольно-измерительных пунктов, связанные в единый контрольно-измерительный комплекс.

Была разработана радиолокационная аппаратура для межпланетных космических станций, осуществлено картографирование при непрозрачной атмосфере планеты Венеры. С помощью устройств, разработанных под руководством Котельникова, с космических станций "Венера" и "Магеллан" проводилась радиолокация областей планеты по заранее определенным секторам. В результате мы знаем, что скрывается на Венере за плотными облаками. Также велись исследования Марса, Юпитера, Меркурия.

Разработки Котельникова нашли применение в орбитальных станциях и современных радиотелескопах.

В 1998 г. В. А.Котельников был награжден премией фон Кармана. Это премия Международной академии астронавтики, которая дается людям с творческим мышлением за значительный вклад в космические исследования.

Поиск радиосигналов внеземных цивилизаций

Международная программа поиска радиосигналов внеземных цивилизаций Seti с помощью крупнейших радиотелескопов была начата в 90-ые годы. Именно Котельников обосновал необходимость использования многоканальных приемников для этой цели. Современные приемники прослушивают одновременно миллионы радиоканалов, перекрывая весь возможный диапазон.

Также под его руководством были выполнены работы, которые определяют критерии разумного узкополосного сигнала в общем шуме и помехах.

К сожалению, пока эти поиски не увенчались успехом. Но в масштабах истории они ведутся совсем недолго.

Теорема Котельникова относится к фундаментальным открытиям в науке. Ее смело можно поставить в один ряд с теоремами Пифагора, Эйлера, Гаусса, Лоренца и т. д.

В каждой области, где необходимо передавать или принимать любые электромагнитные сигналы, мы сознательно или неосознанно пользуемся теоремой Котельникова. Мы разговариваем по телефону, смотрим телевизор, слушаем радио, пользуемся интернетом. Все это в основе своей содержит принцип дискретизации сигналов.

DSPL-2.0 — свободная библиотека алгоритмов цифровой обработки сигналов

Распространяется под лицензией LGPL v3

Страница проекта на GitHub.

Содержание

Вводные замечания

В предыдущем разделе мы рассмотрели модель дискретного сигнала как результат произведения исходного аналогового сигнала и решетчатой функции . Мы также проанализировали спектральные свойства решетчатой функции и выяснили, что преобразование Фурье , где — циклическая частота дискретизации.

дискретного сигнала пропорционален сумме копий спектральных плотностей исходного аналогового сигнала , отстоящих друг от друга на частоту дискретизации рад/c.

Мы уже отмечали, что (1) справедливо вне зависимости от величины и формы спектральной плотности исходного сигнала.

В данном разделе мы рассмотрим фундаментальную теорему, которая формулирует условия однозначного представления непрерывного сигнала набором равноотстоящих дискретных отсчетов, взятых с интервалом с.

Дискретизация сигнала с ограниченной полосой

Пусть аналоговый видеосигнал [1] имеет спектральную плотность , ограниченную полосу рад/c, как это показано на рисунке 1а. Спектральная плотность сигнала с ограниченной полосой равна нулю, если . Для определенности будем полагать, что , т.е. на границах полосы , строго равна нулю.

Тогда спектр дискретного сигнала при различном соотношении полосы исходного аналогового сигнала и частоты дискретизации , согласно (1), имеет вид как это показано на рисунке 1.

При (рисунок 1б) копии спектральной плотности частично перекрываются по частоте, как это показано штриховкой, и смешиваются в результате суммирования копий при дискретизации сигнала.

а — спектральная плотность исходного сигнала;
б — частота дискретизации меньше полосы ;
в — частота дискретизации равна полосе ;
г — частота дискретизации больше полосы

В результате, мы не можем выделить спектральную плотность исходного сигнала из из-за эффекта наложения смещенных копий , который носит название алиасинга. Мы еще будем детально анализировать эффект алиасинга в следующих разделах.

При (рисунок 1в) копии спектральной плотности перестают перекрываются по частоте, потому что мы потребовали . Тогда появляется возможность выделить исходную из спектра дискретного сигнала. Для этого достаточно умножить на в виде частотной характеристики идеального фильтра нижних частот:

При увеличении частоты дискретизации (рисунок 1г), копии , входящие в спектр дискретного сигнала, разносятся по частоте, и мы также можем выделить исходную путем умножения на вида (2).

Теорема Котельникова

Таким образом, рассмотрев различные соотношения полосы исходного сигнала и частоты дискретизации , мы можем окончательно сформулировать следующую теорему:

Теорема (Котельникова). Если спектральная плотность видеосигнала ограничена полосой рад/c, т.е. при , тогда он может быть представлен своими равноотстоящими дискретными отсчетами , взятыми с периодом c, как:

Читайте также:  Mic перевод с английского

Подставим (7) в (5), а также учтем представление дискретного сигнала через решетчатую функцию, рассмотренное в предыдущем разделе. Тогда получим:

Поменяем операторы суммирования и интегрирования, а также используем фильтрующее свойство дельта-функции:

Выражение представляет собой интерполяционную формулу, позволяющую восстановить аналоговый сигнал по его дискретным отсчетам, как это показано на рисунке 2.

Отсчеты исходного дискретного сигнала показаны на рисунке 2а. Интерполирующая функция показана на рисунке 2б. Данная функция равна единице при , и равна нулю во все остальные моменты дискретизации .

В соответствии с (9), интерполирующая функция смещается на момент взятия каждого отсчета, и масштабируется по амплитуде как это показано на рисунке 2в. В результате суммирования всех смещенных во времени интерполирующих функций происходит восстановление исходного непрерывного сигнала (2г). При этом значения сигнала в моменты дискретизации , не меняются.

Краткая историческая справка

В русскоязычной литературе рассмотренная теорема носит имя В.А. Котельникова [1], однако в мировом сообществе она именуется в честь К. Шеннона [2], а также Г. Найквиста [3] , и Э. Уиттакера [4]. Часто теорему называют просто теоремой дискретизации или теоремой отсчетов [2] , или используют именование содержащее несколько фамилий [5].

Прошло без малого сто лет с опубликованной В.А. Котельниковым работы, а споры вокруг первенства доказательства не утихают. Приведем историческую справку.

В 1915 году Э. Уиттакер опубликовал работу [4], в которой вводил интерполяционный ряд вида (3), названный им кардинальным рядом. Однако он не ставил цели найти однозначного представления функций при помощи дискретных отсчетов, а стремился заменить «плохие», с точки зрения анализа функции (имеющие бесконечные разрывы или быстрые осцилляции), рядом (3).

В своей работе Уиттакер пишет: «Заметим, что мы можем построить бесконечное множество интерполяционных рядов проходящих через заданные точки . . . Но данные функции не удовлетворяют свойству кардинальной функции, в частности полного подавления периодических компонент с периодом меньшим . Между тем все эти функции являются решением задачи "Найти аналитическое выражение для функции, имеющей равные значения для аргумента , , , ": которая является фундаментальной задачей теории интерполяции». [3]

Таким образом, Э. Уиттакер вводит интерполяционный ряд, но не приводит теоремы об однозначном представлении функции рядом (3), а напротив, говорит, что интерполяционных рядов может быть бесконечно много.

Другой работой, которую можно считать предвестником теоремы Котельникова является статья Г. Найквиста [3], опубликованная в 1928 году. В своей работе, Найквист рассматривает вопрос безошибочной передачи телеграфного сигнала по узкополосному каналу связи с возможностью исключения межсимвольной интерференции. Главный вывод, который делает Найквист: «Частотный диапазон, который должен быть передан для определения одной полосы численно равен сигнальной скорости передачи» [4] . Найквист также не формулирует никаких теорем о представлении сигналов дискретными отсчетами.

В 1933 году В.А. Котельников опубликовал свою статью [1], в которой впервые появляется теорема:

Любую функцию , состоящую из частот от 0 до периодов в секунду, можно представить рядом

И наоборот, любая функция , представленная рядом (10), состоит лишь из частот от 0 до периодов в секунду.

К сожалению, работа В.А. Котельникова не была переведена на английский язык, и широкая научная дискуссия началась только после публикации К. Шеннона [6], в результате чего, в англоязычной литературе принято называть данную теорему именем К. Шеннона.

Мы же называем данную теорему именем В.А. Котельникова по праву первенства формулировки и доказательства [5] , что, впрочем, не умоляет заслуг К. Шеннона внесшего фундаментальный вклад в развитие теории передачи информации.

Выводы

В данном разделе мы ввели рассмотрели фундаментальную теорему теории цифровой обработки сигналов: теорему Котельникова.

Мы рассмотрели спектральную плотность дискретного сигнала и условия, при которых возможно восстановление аналогового сигнала по имеющимся дискретным отсчетам.

В следующем разделе мы рассмотрим некоторые эффекты практической дискретизации сигналов и некоторые обобщения теоремы Котельникова.

Смотри также

Примечания

[1] Напомним, что видеосигналом называется вещественный или комплексный сигнал , чья спектральная плотность сосредоточена в области нижних частот в окрестности .

[3] «We may remark in passing that it is possible to construct an infinite number of functions cotabular with . . . But this function does not possess the property characteristic of the cardinal function, namely, that periodic constituents of period less than are absent. Such functions are, however, all of thein solutions of the problem "To find an analytical expression for a function when we know the values which it has for the values , , , of its argument": which is essentially the fundamental problem of the theory of interpolation»

[4] «The frequency range which must be transmitted to specify one band is numerically equal to the speed of signaling»

[5] В своей статье [7], профессор Ганс Дитер Люке пишет: «Вероятно, В.А. Котельников был первым ученым, давшим точную формулировку и доказательство теоремы дискретизации, применительно к теории связи.»

Комментировать
1 просмотров
Комментариев нет, будьте первым кто его оставит

Это интересно
No Image Компьютеры
0 комментариев
No Image Компьютеры
0 комментариев
No Image Компьютеры
0 комментариев
No Image Компьютеры
0 комментариев
Adblock detector