No Image

Указать область сходимости ряда

СОДЕРЖАНИЕ
0 просмотров
11 марта 2020

Под областью сходимости степенных рядов понимается множество значений $ x $, при которых ряд сходится.

Для того, чтобы найти область сходимости степенного ряда $ sum_^ infty a_n (x-a)^n $ достаточно воспользоваться формулой Даламбера: $$ L = limlimits_ igg |frac> igg | $$

  1. $ L = 0 $, то область сходимости $ x in (-infty; +infty) $
  2. $ L = infty $, то область сходимости состоит из $ x = 0 $
  3. В остальных случаях составляем неравенство $ L подробное написание

Итак, интервал найден. Теперь необходимо найти область сходимости степенного ряда. А для этого исследуем поведение ряда на концах полученного интервала:

1) Возьмём левую границу $ x = -1 $

Подставляя $ x = -1 $ в исходный ряд, получаем ряд: $ sum_^infty frac<(-1)^n> $

Так как ряд знакочередующийся из-за $ (-1)^n $, то исследуем сходимость по признаку Лейбница:

1) Ряд знакочередующийся

Выполнены оба условия, значит ряд сходится и точку $ x=-1 $ можно включить в область сходимости.

2) Возьмём правую границу $ x = 1 $

Подставим $ x = 1 $ в исходный ряд и получим: $ sum_^infty frac<1> $

Текущий ряд попадает под общий гармонический ряд, в котором $ p = 2 $. А так как $ p>1 $, то ряд сходится. Значит, можно точку $ x = 1 $ записать в область сходимости.

Итого, подведем итог: область сходимости степенного ряда $ sum_^infty frac $ записывается в виде: $ -1 leqslant x leqslant 1 $

Найдем радиус сходимости $ R = frac <2>= frac<1+1> <2>= 1 $

Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

&nbsp &nbsp &nbsp &nbsp Признак Д’Аламбера. Если в ряде с положительными членами

отношение – го члена к – му при имеет конечный предел , то есть
, то: ряд сходится, в случае если и расходится, в случае если .

&nbsp &nbsp &nbsp &nbsp Признак Коши. Если в ряде с положительными членами

последовательность членов такова, что при существует конечный предел

то: ряд сходится, в случае если и расходится, в случае если .

&nbsp &nbsp &nbsp &nbsp Примечание: При оба признака бессильны и не дают ответа на вопрос о сходимости или расходимости ряда.

&nbsp &nbsp &nbsp &nbsp Прежде, чем Вы начнёте скачивать свои варианты, попробуйте решить задачу по образцу, приведённому ниже для варианта 22.

&nbsp &nbsp &nbsp &nbsp Вариант 1 &nbsp &nbsp Вариант 2 &nbsp &nbsp Вариант 3 &nbsp &nbsp Вариант 4 &nbsp &nbsp Вариант 5 &nbsp &nbsp Вариант 6

Читайте также:  Как вставить скриншот в текст

&nbsp &nbsp &nbsp &nbsp Вариант 7 &nbsp &nbsp Вариант 8 &nbsp &nbsp Вариант 9 &nbsp &nbsp Вариант 10 &nbsp &nbsp Вариант 11 &nbsp &nbsp Вариант 12

&nbsp &nbsp Вариант 13 &nbsp &nbsp Вариант 14 &nbsp &nbsp Вариант 15 &nbsp &nbsp Вариант 16 &nbsp &nbsp Вариант 17 &nbsp &nbsp Вариант 18

&nbsp &nbsp Вариант 19 &nbsp &nbsp Вариант 20 &nbsp &nbsp Вариант 21 &nbsp &nbsp Вариант 22 &nbsp &nbsp Вариант 23 &nbsp &nbsp Вариант 24

&nbsp &nbsp Вариант 25 &nbsp &nbsp Вариант 26 &nbsp &nbsp Вариант 27 &nbsp &nbsp Вариант 28 &nbsp &nbsp Вариант 29 &nbsp &nbsp Вариант 30

&nbsp &nbsp &nbsp &nbsp Вариант 31

&nbsp &nbsp &nbsp &nbsp 14.22 Найти область сходимости функционального ряда .

Решение.

&nbsp &nbsp &nbsp &nbsp Общий член ряда
.
&nbsp &nbsp &nbsp &nbsp Тогда последующий член ряда получается заменой на . То есть
.

&nbsp &nbsp &nbsp &nbsp Вычислим предел
.
&nbsp &nbsp &nbsp &nbsp По признаку Д’Аламбера ряд сходится, если . То есть, в области сходимости должно выполняться неравенство
.
&nbsp &nbsp &nbsp &nbspПреобразуем последнее неравенство к виду

&nbsp &nbsp &nbsp &nbsp Отсюда следует, что интервал сходимости

&nbsp &nbsp &nbsp &nbspИсследуем сходимость ряда на концах интервала.
&nbsp &nbsp &nbsp &nbsp При ряд имеет вид . Это сходящийся ряд Дирихле.
&nbsp &nbsp &nbsp &nbsp При ряд имеет вид . Это знакочередующийся ряд, который сходится абсолютно. Так как ряд, составленный из модулей (ряд Дирихле) сходится.

&nbsp &nbsp &nbsp &nbsp Таким образом, область сходимости исходного функционального ряда
.

Ответ: Область сходимости

До сих пор мы рассматривали ряды, членами которых были числа, т.е. числовые ряды. Теперь перейдем к рассмотрению рядов, членами которых являются функции, в частности степенные функции

Такие ряды называются степенными, а числа cq, с, . сп коэффициентами степенного ряда.

Область сходимости степенного ряда

Совокупность тех значений х, при которых степенной ряд (14.1) сходится, называется областью сходимости степенного ряда.

D> Пример 14.1. Найти область сходимости степенного ряда

Решение. Данный ряд можно рассматривать как геометрический ряд со знаменателем q = х, который сходится при q = = I х I Xj |.

? 1) По условию ряд (14.1) сходится при х = х 0, следовательно, выполняется необходимый признак сходимости lim ип =

Читайте также:  Doogee y100 plus характеристики

= limc/JXQ=0. Отсюда следует, что последовательность C„Xq

П—>оо ограничена, т.е. существует такое число М> О, что для всех п выполняется неравенство

Рассмотрим ряд, составленный из абсолютных величин чле-

нов ряда (14.1) ^|cwx$|, который представим в виде

Члены ряда (14.3) согласно неравенству (14.2) меньше соответствующих членов ряда

представляющего геометрический ряд, который сходится, когда

его знаменатель q = — I х< |. Предположим противное, т.е. при | х > I х< | ряд (14.1) сходится. Тогда по доказанному выше он должен сходиться и в точке х< (ибо I Xj | I Xj |, ряд (14.1) расходится. ?

Из теоремы Абеля (см. рис. 14.1) следует, что существует такое число R > 0, что при I х| R — расходится.

Число R получило название радиуса сходимости, а интервал (

— интервала сходимости степенного ряда. На концах интервала сходимости, т.е. при х= —R и x=R, ряд может как сходиться, так и расходиться (см. рис. 14.1).

Найдем выражение радиуса сходимости степенного ряда (14.1) через его коэффициенты. Рассмотрим ряд, составленный из абсолютных величин его членов

в котором все коэффициенты сп, по крайней мере начиная с некоторого номера п, отличны от нуля. По признаку Даламбера ряд (14.4) сходится, если

будет меньше 1, т.е.

Если этот предел существует, то он и является радиусом сходимости ряда (14.1), т.е.

Замечание. Следует отметить, что у некоторых рядов интервал сходимости вырождается в точку (R = 0), у других охватывает всю ось Ox (R = °о).

t> Пример 14.2. Найти область сходимости степенного ряда

Решение. Найдем радиус сходимости ряда по формуле (14.5)

т.е. интервал сходимости ряда–; — .

Теперь выясним поведение ряда на концах интервала сходи-

мости. На левом конце при х = —— данный степенной ряд , 1 1 (-1)"

принимает вид 1—1—. н— +. ; этот ряд сходится

по признаку Лейбница. На правом конце при х = — получаем

ряд 1 + — + — + . ч—–к. представляющий обобщенный

гармонический ряд (13.12) при а = 2, у которого все члены с четными номерами равны нулю. Так как а = 2 > 1, то этот ряд сходится.

Следует отметить, что сходимость ряда на левом конце ин- тервала сходимости при х = —— могла быть установлена с помощью достаточного признака сходимости знакопеременного ряда (см. § 13.4), так как ряд, составленный из абсолютных ве-

Читайте также:  Филатов михаил валентинович лечит рак

личин его членов, т.е. ряд V-, сходится.

Итак, область сходимости данного ряда . ?

Замечание. При исследовании сходимости на концах интервала сходимости для получающегося ряда с положительными членами применять признак Даламбера не имеет смысла,

так как в этом случае всегда будем получать lim = / = 1 с

нерешенным вопросом о сходимости ряда; в этом случае рекомендуется рассматривать другие признаки сходимости (например, признак сравнения, необходимый признак и т.д.).

D> Пример 14.3. Найти области сходимости степенных рядов:

Р е ш е н и е. а) Радиус сходимости ряда по (14.5) с (и + 1)!

R = lim —— = lim-= lim (п +1) = оо , т.е. область сходимо-

  • б) Задачу можно решать аналогично предыдущим. Решение упрощается, если заметить, что при х ф 0 lim ип = lim п п х п * 0 , т.е.
  • 77—>00 77—>00

необходимый признак сходимости не выполняется, и ряд расходится.

Итак, область сходимости ряда состоит из одной точки х = 0. ?

t> Пример 14.4. Найти область сходимости ряда

Решение. Найти радиус сходимости по формуле (14.5) в данном случае не представляется возможным, так как коэффициенты ряда С2, Сз, os, Сб, cj, eg, сю и т.д. равны нулю. Поэтому непосредственно применим признак Даламбера. Данный ряд

будет абсолютно сходиться, если lim °0 Un

если lim – > 1. Поэтому найдем

Следовательно, ряд сходится при — 00

х = — ряд принимает вид ^(-1)" 2 =1 — 1 + 1 — 1 + . а

при х = – — вид ^(-l)" 2 = 1 + 1 + 1 + . , т.е. оба ряда рас-

холятся, так как не выполняется необходимый признак сходимости.

Итак, область сходимости ряда ; — |. ?

Свойства степенных рядов. Пусть функция / (х) является сум-

мой степенного ряда, т.е. / (х) = Sv”. в подобных курсах

математического анализа доказывается, что степенные ряды по своим свойствам напоминают конечные суммы (многочлены): на любом отрезке [а, Ь], целиком принадлежащем интервалу сходимости (—/?; R), функция / (х) является непрерывной, а следовательно, степенной ряд можно почленно интегрировать на этом отрезке:

Кроме того, в интервале сходимости степенной ряд можно почленно дифференцировать:

При этом после интегрирования или дифференцирования полученные ряды имеют тот же радиус сходимости R.

Комментировать
0 просмотров
Комментариев нет, будьте первым кто его оставит

Это интересно
No Image Компьютеры
0 комментариев
No Image Компьютеры
0 комментариев
No Image Компьютеры
0 комментариев
No Image Компьютеры
0 комментариев
Adblock detector