No Image

Уравнение касательной к функции заданной неявно

СОДЕРЖАНИЕ
2 просмотров
11 марта 2020

Формулы касательной и нормали остаются прежними, но меняется техника решения:

Найти уравнения касательной и нормали к кривой в точке .

Решение : судя по уравнению, это какая-то линия 3-го порядка , какая именно – нас сейчас совершенно не интересует.

В уравнении присутствует зловред , и поэтому перспектива выразить функция в явном виде выглядит весьма туманной.

Но этого и не требуется! Есть куда более остроумное решение. Уравнение касательной составим по той же формуле

.

Из условия известны значения , кстати, не помешает убедиться, что они действительно удовлетворяют предложенному уравнению:

Получено верное равенство, значит, с точкой всё в порядке.

Осталось вычислить . Сначала по стандартной схеме найдём производную от функции, заданной неявно :

Перепишем результат с более подходящим для нашей задачи обозначением:

На 2-м шаге в найденное выражение производной подставим :

Осталось аккуратно разобраться с уравнением:

Составим уравнение нормали:

Ответ :

Готово! А поначалу представлялось всё непросто. Хотя производная здесь, конечно, – место уязвимое. Миниатюра для самостоятельного решения:

Найти уравнение нормали к линии в точке

Хватит уже вымучивать касательную =)

В данном случае легко выяснить, что это окружность центром в точке радиуса и даже выразить нужную функцию . Но зачем?! Ведь найти производную от неявно

заданной функции на порядок легче! Она тут чуть ли не самая примитивная.

Краткое решение и ответ в конце урока.

Как найти уравнение касательной и уравнение нормали, если функция задана параметрически?

Ещё проще. Но для этого нужно потренироваться в нахождении

производной от параметрически заданной функции . А так – почти халява:

Составить уравнения касательной и нормали к циклоиде , проведенные в точке, для которой .

Чертёж циклоиды можно найти на странице S и V, если линия задана параметрически (так получилось, что эта статья была создана раньше) . Там даже изображена точка касания.

Решение : абсцисса и ордината точки касания рассчитываются непосредственно из параметрических уравнений кривой:

Найдём 1-ую производную от параметрически заданной функции :

И вычислим её значение при :

Уравнение касательной составим по обычной формуле с поправкой на несколько другие обозначения:

Ответ : В заключение предлагаю познакомиться с ещё одной интересной

линией: Пример 9

Составить уравнение нормали к полукубической параболе , проведенной в точке, для которой .

Читайте также:  Object is not callable перевод

Это пример для самостоятельного решения. Напоминаю, что графики параметрически заданных функций можно построить, например, с помощью моего расчётного геометрического макета .

Ну а наш урок подошёл к концу, и я надеюсь, что изложенный материал прошёл для вас не по касательной, а нормально =)

Спасибо за внимание и успехов!

Решения и ответы :

Пример 2: Решение : уравнение касательной составим по формуле:

Неявные функции многих переменных

определяется, как функция y=f(x)=f(x1,x2,…,xn) при подстановке которой в уравнение (6.3), оно превращается в тождество на некотором множестве, т. е.

Теорема 2. Пусть

1) F(x,y) имеет непрерывные частные производные первого порядка в окрестности U(M 0 ) точки M 0 =(x 0 ,y 0 )= , x 0 =

Тогда существует окрестность Ud(x 0 ) и единственная функция, определенная в этой окрестности y = f(x), такая, что

Эта функция дифференцируема в точке x 0 и ее производные определяется по формуле

Доказательство. Для определенности будем считать, что . Пусть в Uh(M 0 )выполнены условия теоремы и , положим d¢ = h/2. Тогда цилиндр содержится в Uh(M 0 )так как

r(M,M 0 )= ,y)строго возрастает на [y 0 – d¢, y 0 + d¢]. В центре этого отрезка функция равна нулю, поэтому F(x 0 , y 0 – d¢) 0 , y 0 + d¢) > 0.Функции F(x, y 0 – d¢) , F(x, y 0 + d¢)непрерывны по x и поэтому сохраняют знак в окрестности точки x 0 . таким образом, существует d 0 ) : F(x, y 0 – d¢) 0 + d¢) > 0 . Тогда для "ÎUd( x 0 )функция F( ,y), как функция y, имеет на [y 0 –d¢, y 0 + d¢] единственный ноль , F( , ) = 0(промежуточное значение строго монотонной функции). Функция , действующая на Ud( x 0 )является искомой. В силу единственности нуля f(x 0 ) = y 0 . Построенная функция является функцией неявно заданной уравнением F(x,y)=0в окрестности Ud( x 0 ). Докажем дифференцируемость этой функции. В окрестности точки M 0 справедливо равенство

Если в этом равенстве положить Dy=Df=f(x) – f(x 0 ), где x= то DF = 0и все Dxk=0кроме одного при k=j

Переходя к пределу при M® M 0 получим требуемое равенство.

Замечание. При выполнении условий теоремы построенная функция будет принадлежать классу C 1 в некоторой окрестности точки x 0 .

Действительно, условия теоремы будут выполнены, если в качестве точки (x 0 ,y 0 )взять любую точку (x, f(x)), xÎ . Для таких точек будут выполнено равенство

где правая часть является непрерывной функцией.

Рассмотрим поверхность заданную неявно уравнением

Будем предполагать выполненными условия теоремы существования неявной функции в окрестности точки P 0 =(x 0 , y 0 )( , M 0 =(x 0 , y 0 , z 0 ), z 0 =f(x 0 , y 0 )). Уравнение касательной плоскости к поверхности в точке M 0 , будет иметь вид

Читайте также:  Cec switch что это

С другой стороны, для неявно заданной функции

Подставляя эти выражения в (6.5)получим

Отсюда следует следующее правило для построения касательной плоскости к поверхности, заданной неявно.

Нужно взять дифференциал левой и правой части уравнения (6.4)

и в полученном выражении частные производные вычислить в интересующей нас точке поверхности M 0 , а дифференциалы dx, dy, dz нужно заменить на (x-x 0 ), (y-y 0 ), (z-z 0 )соответственно.

Замечание. Формула (6.6) будет справедлива и в случаях, когда уравнение (6.4) можно разрешить относительно y (в случае выполнения условия ) или относительно x (при выполнении условия ).

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Лучшие изречения: Учись учиться, не учась! 10637 – | 8008 – или читать все.

91.146.8.87 © studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам | Обратная связь.

Отключите adBlock!
и обновите страницу (F5)

очень нужно

Предположим, что функция (y = fleft( x
ight)) определена на интервале (left(
ight)) и непрерывна в точке ( in left(
ight).) В этой точке (точка (M) на рисунке (1)) функция имеет значение ( = fleft( <
>
ight).)

Пусть независимая переменная в точке () получает приращение (Delta x.) Соответствующее приращение функции (Delta y) выражается формулой [Delta y = fleft( <+ Delta x>
ight) – fleft( <
>
ight).] На рисунке (1) точка () имеет координаты (left( <
+ Delta x, + Delta y>
ight).) Построим секущую (M.) Ее уравнение имеет вид [y –
= kleft( >
ight),] где (k) − угловой коэффициент, зависящий от приращения (Delta x) и равный [k = kleft( <Delta x>
ight) = frac<<Delta y>><<Delta x>>.] При уменьшении (Delta x) точка () стремится к точке (M:) ( o M.) В пределе (Delta x o 0) расстояние между точками (M) и () стремится к нулю. Это следует из непрерывности функции (fleft( x
ight)) в точке (
🙂 [ <limlimits_<Delta x o 0>Delta y = 0,>;; <Rightarrow limlimits_<Delta x o 0>left| >
ight| > = <limlimits_<Delta x o 0>sqrt <<<left( <Delta x>
ight)>^2> + <<left( <Delta y>
ight)>^2>> = 0.> ] Предельное положение секущей (M
) как раз и представляет собой касательную прямую к графику функции (y = fleft( x
ight)) в точке (M.)

Возможны два вида касательных − наклонные и вертикальные .

Читайте также:  Что делать при отмене заказа на алиэкспресс

Определение (1) .
Если существует конечный предел (limlimits_ <Delta x o 0>kleft( <Delta x>
ight) = ,) то прямая, имеющая уравнение [y – = kleft( >
ight),] называется наклонной касательной к графику функции (y = fleft( x
ight)) в точке (left( <,
>
ight).)

Определение 2 .
Если предельное значение (k) при (Delta x o 0) является бесконечным: (limlimits_ <Delta x o 0>kleft( <Delta x>
ight) = pm infty,) то прямая, имеющая уравнение [x = ,] называется вертикальной касательной к графику функции (y = fleft( x
ight)) в точке (left( <
,>
ight).)

Важно отметить, что [ <= limlimits_ <Delta x o 0>kleft( <Delta x>
ight) > = <limlimits_<Delta x o 0>frac<<Delta y>><<Delta x>> > = >
ight)left( >
ight);; ext<или>>;; >
ight)left(
>
ight) + fleft( <
>
ight).> ] Поскольку угловой коэффициент прямой равен тангенсу угла наклона (alpha,) который прямая образует с положительным направлением оси абсцисс, то справедливо следующее тройное равенство: [k = an alpha = f”left( <
>
ight).]

Прямая, перпендикулярная касательной и проходящая через точку касания (left( <,>
ight),) называется нормалью к графику функции (y = fleft( x
ight)) в этой точке (рисунок (2)).

Из геометрии известно, что произведение угловых коэффициентов перпендикулярных прямых равно (-1.) Поэтому, зная уравнение касательной в точке (left( <

,>
ight):) [y –
= f’left( <
>
ight)left( >
ight),] можно сразу записать уравнение нормали в виде [y – = – frac<1><
>><<sin heta + rcos heta >><<=”” frac<<>><<>
ight)>;;; <( ext<касательная>),> ] [
=”” -frac<<>><<>
ight)>;;; <( ext<нормаль>).> ] Исследование кривой можно провести непосредственно в полярных координатах без перехода к декартовой системе. В таком случае наклон касательной удобно определять не углом ( heta) с полярной осью (т.е. с положительным направлением оси абсцисс), а углом (eta) с прямой, содержащей радиус-вектор (r) (рисунок (3)).

Тангенс угла (eta) вычисляется по формуле [ an eta =”” frac<<>>.] Угол, образованный нормалью с продолженным радиусом-вектором, равен (eta + largefrac<pi ><2>
ormalsize.) По формуле приведения получаем: [ < an left( <eta + frac<pi ><2>>
ight) > = < – cot eta = – frac<1><< an eta >> > = < – frac<<

Комментировать
2 просмотров
Комментариев нет, будьте первым кто его оставит

Это интересно
No Image Компьютеры
0 комментариев
No Image Компьютеры
0 комментариев
No Image Компьютеры
0 комментариев
No Image Компьютеры
0 комментариев
Adblock detector